查看“︁小角度近似”︁的源代码

[[File:Kleinwinkelnaeherungen.png|thumb|upright=1.5|在{{math|''x'' → 0}}時一些三角函數的近似值]]

'''小角度近似'''（small-angle approximations）可以在角度以[[弧度]]表示，且角度很小的情形下，近似部份[[三角函数]]的值：

:<math>
\begin{align}
\sin \theta &\approx \theta \\
\cos \theta &\approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \approx 1\\
\tan \theta &\approx \theta
\end{align}
</math>

上述的近似常用在[[物理学]]和[[工程学]]的各分支學科中，包括[[力学]]、[[电磁学]]、[[光学]]、[[地图学]]、[[天文學]]和[[计算机科学]]<ref name="Holbrow2010" /><ref name="Plesha2012"/>。近似的一個理由是可以大幅簡化[[微分方程]]的計算，可以用在不需要精確解的情形下。

小角度近似可以用許多的方式說明，最直接的是用三角函數的[[泰勒级数|馬克勞林級數]]，依照{{le|逼近的階數|Order of approximation}}不同，<math>\textstyle \cos \theta</math>可以近似為<math>1</math>或<math display="inline"> 1-\frac{\theta^2}{2}</math>.<ref>{{Cite web|title=Small-Angle Approximation {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/small-angle-approximation/|access-date=2020-07-22|website=brilliant.org|language=en-us|archive-date=2020-07-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20200722161210/https://brilliant.org/wiki/small-angle-approximation/|dead-url=no}}</ref>。
== 理由 ==

=== 繪圖 ===
圖1和圖2可以看出此近似的精度。在角度趨近零時，原始函數和近似函數的差也趨近零。
<gallery widths="500px" heights="400px">
File:Small_angle_compair_odd.svg|圖1：基本的奇三角函數的比較，當角度{{math|θ}}趨近0時，近似函數很接近原函數。
File:Small_angle_compare_even.svg|圖2：{{math|cos ''θ''}}和{{math|1 − {{sfrac|''θ''<sup>2</sup>|2}}}}的比較。當角度{{math|θ}}趨近0時，兩函數相當接近。
</gallery>
=== 幾何學 ===
:[[File:Small angle triangle.svg|600px]]
右圖中紅色部份{{math|d}}，是斜邊長度{{mvar|H}}和鄰邊長度{{mvar|A}}的差。如圖所示，{{mvar|H}}和{{mvar|A}}幾乎一樣長，意思是{{math|cos ''θ''}}接近1，利用{{math|{{sfrac|''θ''<sup>2</sup>|2}}}}可以減去紅色的部份
:<math> \cos{\theta} \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}</math>。

其對邊{{mvar|O}}長度近似於藍色圓弧的長度{{mvar|s}}。根據幾何學，{{math|''s'' {{=}} ''Aθ''}}，根據三角函數，{{math|sin ''θ'' {{=}} {{sfrac|''O''|''H''}}}}和{{math|tan ''θ'' {{=}} {{sfrac|''O''|''A''}}}}，根據圖上{{math|''O'' ≈ ''s''}}且{{math|''H'' ≈ ''A''}}可得：

:<math>\sin \theta = \frac{O}{H}\approx\frac{O}{A} = \tan \theta = \frac{O}{A} \approx \frac{s}{A} = \frac{A\theta}{A} = \theta.</math>

簡化後可得

:<math>\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.</math>

=== 微積分 ===
利用[[夾擠定理]]<ref name=Larson2006/>，可以證明
<math display="inline">
\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1,
</math>這是在小角度θ時，<math>\sin(\theta) \approx \theta</math>近似式的正式敘述。


比較小心的應用夾擠定理可得 <math display="inline">
\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan(\theta)}{\theta} = 1,
</math>，因此可以得到在小角度θ時，<math>\tan(\theta) \approx \theta</math>。

最後，利用[[洛必达法则]]可得<math display="inline">
\lim_{\theta\to 0} \frac{\cos(\theta)-1}{\theta^2} = \lim_{\theta\to 0} \frac{-\sin(\theta)}{2\theta} = -\frac{1}{2},
</math>可以整理為<math display="inline">\cos(\theta) \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}</math>，在小角度θ時成立。也可以用倍角公式<math>\cos 2A \equiv 1-2\sin^2 A</math>。令<math>\theta = 2A</math>，可得<math display="inline">\cos\theta=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\approx1-\frac{\theta^2}{2}</math>。

=== 代數 ===
[[File:Small-angle approximation for sine function.svg|thumb|300px|正弦函數的小角度近似]]
將正弦函數進行馬克勞林展開（在零附近的泰勒展開）可得<ref>{{cite book|authorlink=Mary L. Boas|last=Boas|first=Mary L.|title=<!-- 沒有連結 -->[[Mathematical Methods in the Physical Sciences]]|year=2006|publisher=Wiley|page=[https://archive.org/details/mathematicalmeth00boas_097/page/26 26]|isbn=978-0-471-19826-0}}</ref> 

:<math>\begin{align} \sin \theta &= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \theta^{2n+1} \\
&= \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \end{align}</math>

其中{{mvar|θ}}是以弧度表示的角度，上式也可以改寫如下：

:<math>\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \frac{\theta^7}{5040} + \cdots </math>

可以看出在{{mvar|θ}}很小時，第二項（三次方項）會非常小。用{{mvar|θ}}為0.01為例，第二項的數量級為第一項的 {{val|0.000001}}或{{sfrac|{{val|10000}}}}。因此可以單純的近似為：

:<math>\sin \theta \approx \theta</math>

另外，因為小角度的餘弦函數接近1，因此正切函數（正弦函數除以餘弦函數）可以表示如下

:<math>\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta</math>,

==近似的誤差==
[[File:Small angle compare error.svg|thumb|upright=2|圖3：小角度近似的[[逼近误差]]]]
圖3是小角度近似的誤差，若以誤差在1%為準，以下是各近似函數誤差超過1%的角度：

* {{math|cos ''θ'' ≈ 1}}，約為 0.1408 弧度 (8.07°)
* {{math|tan ''θ'' ≈ ''θ''}}，約為 0.1730 弧度 (9.91°)
* {{math|sin ''θ'' ≈ ''θ''}}，約為 0.2441 弧度 (13.99°)
* {{math|cos ''θ'' ≈ 1 − {{sfrac|''θ''<sup>2</sup>|2}}}}，約為 0.6620 弧度 (37.93°)

== 和角和差角 ==
[[三角恒等式]]中的和角公式和差角公式，當其中一個角度很小時（''β'' ≈ 0），可以簡化為下式：
:{|
|style="text-align:right;"| cos(''α'' + ''β'') ||≈ cos(''α'') − ''β'' sin(''α''),
|-
|style="text-align:right;"| cos(''α'' − ''β'') ||≈ cos(''α'') + ''β'' sin(''α''),
|-
|style="text-align:right;"| sin(''α'' + ''β'') ||≈ sin(''α'') + ''β'' cos(''α''),
|-
|style="text-align:right;"| sin(''α'' − ''β'') ||≈ sin(''α'') − ''β'' cos(''α'').
|}
==應用==
=== 天文學 ===
在[[天文學]]上，天體的[[角直徑]]多半只有幾個[[角秒]]，其角度很小，因此可以用小角度近似<ref name=Green1985/>。線性大小（{{mvar|D}}）和角直徑（{{mvar|X}}）以及與觀察者距離（{{mvar|d}}）之間有以下的公式：

:<math>D = X \frac{d}{206\,265}</math>

其中{{mvar|X}}是用角秒表示。

數字{{val|206265}}是圓用角秒表示的值（{{val|1296000}}），除以{{math|2π}}。

精確的公式是

:<math>D = d \tan \left( X \frac{2\pi}{1\,296\,000} \right)</math>

若{{math|tan ''X''}}改為{{mvar|X}}，上式也適用。

=== 擺的運動 ===
在計算[[擺]]的[[势能]]时，二次餘弦近似非常的好用，可以應用在[[拉格朗日力学]]上，找到運動的間接方程（能量方程）。

在計算擺的[[頻率 (物理學)|頻率]]時，可以用正弦函數的小角度近近，將擺的微分方程轉換為[[簡諧運動]]的微分方程。

===光學===
在光學上，小角度近似是[[近軸近似]]的基礎。

=== 波干涉 ===
正弦和正切的小角度近似可以用在[[雙縫實驗]]或[[衍射光栅]]中，以簡化計算<ref>{{Cite web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html |title=存档副本 |access-date=2021-06-12 |archive-date=2021-08-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210804090821/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html |dead-url=no }}</ref>。

=== 結構力學 ===
小角度近似常用在結構力學上，特別是和穩定性和[[分岔理論|分岔分析]]上（主要是軸向受壓力的柱，是否會產生[[挫曲]]的分析）。這部份簡化的程度很大。不過不過用在精確的分析上。

=== 導航 ===
{{le|空中導航|air navigation}}中的{{le|1 in 60 rule|1 in 60 rule}}就是以小角度近似為基礎，加上一個弧度近似於60度的事實。

=== 內插 ===
小角度的和角和差角公式可以在{{le|三角函數表|trigonometric table}}的[[插值]]：

例如：sin(0.755)
:{|
|sin(0.755) ||= sin(0.75 + 0.005)
|-
| ||≈  sin(0.75) + (0.005) cos(0.75)
|-
| ||≈  (0.6816) + (0.005)(0.7317)
| [sin(0.75)和cos(0.75)的值是由三角函數表求得]
|-
| ||≈  0.6853.
|}

== 相關條目 ==
* {{le|Skinny triangle|Skinny triangle}}
* [[正矢]]
* [[外正割]]

== 參考資料 ==
{{reflist|refs=

<ref name=Holbrow2010>{{citation | title=Modern Introductory Physics | postscript=. | first1=Charles H. | last1=Holbrow | first2=James N. | last2=Lloyd | first3=Joseph C. | last3=Amato | first4=Enrique | last4=Galvez | first5=M. Elizabeth | last5=Parks | display-authors=1 | edition=2nd | publisher=Springer Science & Business Media | year=2010 | isbn=0387790799 | pages=30–32 | url=https://books.google.com/books?id=KLT_FyQyimUC&pg=PA30 | accessdate=2021-06-12 | archive-date=2021-08-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210804090826/https://books.google.com/books?id=KLT_FyQyimUC&pg=PA30 | dead-url=no }}</ref>

<ref name=Plesha2012>{{citation | title=Engineering Mechanics: Statics and Dynamics | first1=Michael | last1=Plesha | first2=Gary | last2=Gray | first3=Francesco | last3=Costanzo | display-authors=1 | edition=2nd | publisher=McGraw-Hill Higher Education | year=2012 | isbn=0077570618 | page=12 | postscript=. | url=https://books.google.com/books?id=xWt6CgAAQBAJ&pg=PA12 | accessdate=2021-06-12 | archive-date=2021-08-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210804090831/https://books.google.com/books?id=xWt6CgAAQBAJ&pg=PA12 | dead-url=no }}</ref>

<ref name=Larson2006>{{citation | title=Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions | first1=Ron | last1=Larson | first2=Robert P. | last2=Hostetler | first3=Bruce H. | last3=Edwards | display-authors=1 | edition=4th | publisher=Cengage Learning | year=2006 | isbn=0618606254 | page=85 | postscript=. | url=https://books.google.com/books?id=E5V4vTqAgAIC&pg=PA85 | accessdate=2021-06-12 | archive-date=2021-08-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210804094032/https://books.google.com/books?id=E5V4vTqAgAIC&pg=PA85 | dead-url=no }}</ref>

<ref name=Green1985>{{citation | title=Spherical Astronomy | postscript=. | first1=Robin M. | last1=Green | publisher=Cambridge University Press | year=1985 | isbn=0521317797 | page=19 | url=https://books.google.com/books?id=wOpaUFQFwTwC&pg=PA19 | accessdate=2021-06-12 | archive-date=2021-08-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210804092644/https://books.google.com/books?id=wOpaUFQFwTwC&pg=PA19 | dead-url=no }}</ref>

}}

[[Category:三角学]]