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{{not|导子}}
{{NoteTA|G1=Math|1=zh:導出函子;zh-hans:导出函子;zh-hant:導來函子}}
在[[同調代數]]中，[[阿貝爾範疇]]間的某類函子可以「求導」，以獲得相應的'''導出函子'''。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。

==動機==
考慮導出函子的原始目的是從一個[[短正合序列]]造出一個[[長正合序列]]。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇 <math>\mathcal{A}, \mathcal{B}</math>，及其間的加法函子 <math>F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}</math>。假設 <math>F</math> 為左[[正合函子]]，換言之，對 <math>\mathcal{A}</math> 中的任一短正合序列

: <math>0\to A \to B \to C \to 0</math>

下列序列是正合的：

: <math>0\to F(A)\to F(B)\to F(C)</math>

由此自然導出一個問題：如何自然地延長此正合序列？<math>F</math> 的（右）導出函子是一族函子 <math>R^i F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}</math>，滿足 <math>R^0 F = F</math>，且有相應的長正合序列：

:<math>0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^1F(A) \to R^1F(B) \to R^1F(C)\to R^2F(A)\to \cdots</math>

導出函子可以視為 <math>F</math> 的右正合性的尺度。

==構造與初步性質==
===右導出函子===
今假設 <math>\mathcal{A}</math> 中有充足的內射元。設 <math>X \in  \mathcal{A}</math>，根據假設，存在[[內射分解]]：

: <math>0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots</math>

取函子 <math>F</math>，得到上[[鏈複形]]：

: <math>0\to F(X) \to F(I^0)\to F(I^1) \to F(I^2) \to\cdots</math>

定義 <math>R^i F(X)</math> 為其第 <math>i</math> 個上同調群，特別是有 <math>R^0 F(X) = F(X)</math>。注意到兩點：
* 由於任兩個內射分解彼此同倫等價，函子 <math>R^i F</math> 在同構的意義下是明確定義的。
* 若 <math>X</math> 是內射對象，取平凡分解 <math>0 \to X \to X \to 0</math>，可知當 <math>i>0</math> 時有 <math>R^i F(X) = 0</math>。

===左導出函子===

左導出函子的建構與右導出函子對偶。設 <math>G: \mathcal{A} \to \mathcal{B}</math> 為右正合加法函子，並假設 <math>\mathcal{A}</math> 有充足的射影元。對任一對象 <math>X \in \mathcal{A}</math>，取一[[射影分解]]：

:<math>\cdots\to P_2\to P_1\to P_0 \to X \to 0</math>

取函子 <math>G</math>，得到鏈複形：

: <math> \cdots \to G(P_2) \to G(P_1) \to G(P_0) \to 0</math>

定義 <math>L^i G(X)</math> 為其第 <math>i</math> 個同調群，其性質類似右導出函子。

===逆變函子的情形===
對於逆變函子也能定義導出函子，此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。

==長正合序列==
對於右導出函子的情形，任一短正合序列 <math>0 \to A \to B \to C \to 0</math> 給出長正合序列
: <math>\cdots \to  R^{i-1} F(C) \to R^i F(A) \to R^i F(B) \to R^i F(C) \to R^{i+1} F(A) \to \cdots</math>

對於左導出函子，相應的長正合序列形如
: <math>\cdots \to L^{i+1} G(C) \to L^i G(A) \to L^i G(B) \to L^i G(C) \to L^{i-1} G(C) \to \cdots</math>

此外，這些長正合序列在下述意義下是「自然」的：
* 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
* 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。

這些性質是[[蛇引理]]的推論。

==應用==
* [[層上同調]]：對拓撲空間 <math>X</math>，考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇，它有充足的內射元。整體截面函子 <math>\mathcal{F} \mapsto \Gamma(X,\mathcal{F})</math> 是左正合函子，相應的右導出函子即層上同調函子 <math>\mathcal{F} \mapsto H^i(X, \mathcal{F})</math>。
* [[平展上同調]]：平展上同調用於[[概形]]上的另一種上同調理論。
* [[Ext函子]]：設 <math>R</math> 為環，考慮 <math>R</math>-模範疇，它有充足的內射元及射影元。對任一 <math>R</math>-模 <math>A</math>，函子 <math>\mathrm{Hom}_R(A, -)</math> 為左正合的，其右導出函子記為 <math>B \mapsto \mathrm{Ext}^i_R(A,B)</math>。
* [[Tor函子]]：同樣考慮 <math>R</math>-模範疇，對任一 <math>R</math>-模 <math>B</math>，函子 <math>- \otimes_R B</math> 為右正合的，其左導出函子記為 <math>A \mapsto \mathrm{Tor}_i^R(A,B)</math>。
* [[群上同調]]：設 <math>G</math> 為[[群]]。所謂 <math>G</math>-模是指被 <math>G</math> 作用的[[阿貝爾群]]，<math>G</math>-模範疇可以理解為 <math>\Z G</math>-模範疇。對任一 <math>G</math>-模 <math>M</math>，定義 <math>M^G := \{ m \in M : \forall g \in G, \; g \cdot m = m \}</math>，這是一個左正合函子，其右導出函子即群上同調函子 <math>M \mapsto H^i(G, M)</math>。

==推廣==
現代的[[導範疇]]理論為導出函子提供了一套較廣的框架。

==文獻==
* Weibel, Charles A., ''An introduction to homological algebra''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1

[[Category:函子|D]]
[[Category:同調代數|D]]