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[[File:vertical.png|180px|right|相交直线产生的对顶角]]
在[[幾何學]]中，'''对顶角'''是两个角之间的一种位置关系。两条[[直线]]相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为[[頂點 (幾何)|顶点]]的四个角。称其中不相邻的两个角互为'''对顶角'''。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。

对顶角满足下列[[定理]]：'''两直线相交，对顶角相等。'''

用数学语言描述就是（如右图）：
:设直线'''AD'''、'''BC'''交于点'''O'''。则形成四个角：∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中，∠AOB和∠COD互为对顶角，∠AOC和∠BOD互为对顶角。∠AOB = ∠COD，∠AOC = ∠BOD。

==歷史==
[[File:Thales.jpg|thumb|left|120px|[[古希腊]]數學家[[泰勒斯]]。]]
[[泰勒斯]]生於[[希臘]]，是一位擅長於[[幾何學]]的[[數學家]]及[[哲學家]]。他一生發现了多个几何学定理，包括[[等腰三角形]]中的“等边对等角”定理，也包括对顶角定理。

==对顶角定理的證明==
设直线'''AD'''、'''BC'''交于点'''O'''，那么，∠AOB和∠AOC 互为[[邻补角]]。根据[[邻补角]]的性质，
: <math>\angle AOB + \angle AOC = \pi</math>
其中<math>\pi</math>是一个[[平角]]的弧度数。

类似地，∠COD和∠AOC 互为[[邻补角]]。根据[[邻补角]]的性质，
: <math>\angle COD + \angle AOC = \pi</math>

因此，<math>\angle AOB + \angle AOC = \pi = \angle COD + \angle AOC</math>

两边减去相同的角度<math>\angle AOC</math> 后，就得到
:<math>\angle AOB = \angle COD</math>。

同样地，可以证明<math>\angle AOC = \angle BOD</math>。

==用途==
[[File:Cong AAS.png|thumb|一对[[全等三角形]]。]]
'''对顶角'''通常用于测量角度以及证明[[全等三角形]]。以下是一个利用对顶角证明全等三角形的例子：

如右图，已知AB=CD，∠BAE=∠CDE。求证：<math>\triangle ABE \cong \triangle DCE</math>。

证明：在△ABE与△DCE中，

:<math>\begin{cases}
\angle BAE = \angle CDE\\
\angle AEB = \angle CED\\
AB = DC
\end{cases}</math>

因此，<math>\triangle ABE \cong \triangle DCE</math>。


在以上证明中，∠AEB=∠CED的结论就是通过对顶角定理得出的。注意，在一般的[[证明|几何证明]]中，对顶角定理'''并不需要'''显式地叙述出来，可以当作是默认的条件。

==相关条目==
*[[补角]]
*[[三线八角]]

==參考資料==
*http://www.math.ied.edu.hk/ykman/history/Ref/maths.htm {{Wayback|url=http://www.math.ied.edu.hk/ykman/history/Ref/maths.htm |date=20200209070304 }} 數學家資料

[[Category:幾何術語]]
[[Category:角]]

[[et:Tippnurgad]]