查看“︁對稱矩陣”︁的源代码

{{noteTA|G1=math}}{{线性代数}}
在[[線性代數]]中，'''對稱矩陣'''（{{lang-en|symmetric matrix}}）指[[轉置矩陣]]和自身相等[[方形矩陣]]。

:<math>A = A^{\textrm{T}} \ \!</math>

對稱矩陣中的右上至左下方向元素以[[主對角線]]（左上至右下）為軸進行對稱。若將其寫作<math>A = (a_{i j})</math>，則对所有的''i''和''j''，

:<math>a_{i j} = a_{j i} \ \!</math>

下列是3×3的對稱矩陣：

:<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & -5\\
3 & -5 & 6\end{bmatrix}</math>

==例子==

<math>
\begin{bmatrix} 
a & b & c \\
b & d & e \\
c & e & f 
\end{bmatrix}
,
\begin{bmatrix} 
1 & 5 \\
5 & 7
\end{bmatrix}
,</math>
<math>
\begin{bmatrix} 
1 & 3 & 0 \\
3 & 1 & 6 \\
0 & 6 & 1 
\end{bmatrix}
,
\begin{bmatrix} 
a & b \\
b & c
\end{bmatrix}
,
\begin{bmatrix} 
2
\end{bmatrix}
</math>

==性质==
* 對於任何方形矩陣<math>X</math>，<math>X+X^T</math>是對稱矩陣。
* <math>A</math>為[[方形矩陣]]是<math>A</math>為對稱矩陣的必要條件，即對稱矩陣行數必等於列數。
* [[對角矩陣]]都是對稱矩陣。
*[[若且唯若]]兩者的[[乘法]]可[[交換律|交換]]（即<math>AB = BA</math>）時，兩個對稱矩陣的積（<math>AB</math>）是對稱矩陣。{{Citation needed|兩個實對稱矩陣乘法可交換[[若且唯若]]兩者的[[特徵空間]]相同。|time=2019-07-19T02:57:25+00:00}}
* 任何方形矩陣<math>X</math>，如果它的元素屬於一個[[特徵 (代數)|特徵]]不為2的域（例如[[實數]]），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個[[斜對稱矩陣]]之和：
::<math>X = \frac{1}{2}(X+X^T)+\frac{1}{2}(X-X^T)</math>
* 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
* 若對稱矩陣<math>A</math>的每個元素均為實數，<math>A</math>是[[實對稱矩陣]]。
* 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
* 如果X是對稱矩陣，那麼 <math>AXA^\textrm{T}</math> 也是對稱矩陣.

==分解==
利用[[若尔当标准形]]，我们可以证明每一个实方阵都可以写成两个实对称矩阵的乘积，而每一个复方阵都可以写成两个复对称矩阵的乘积。<ref name='Bosch1986'>{{cite journal | author=A. J. Bosch | title=The factorization of a square matrix into two symmetric matrices | journal=American Mathematical Monthly | year=1986 | volume=93 | pages=462–464 | doi=10.2307/2323471}}
</ref>

每一个实[[非奇异矩阵]]都可以唯一分解成一个[[正交矩阵]]和一个对称[[正定矩阵]]的乘积，这称为[[极分解]]。奇异矩阵也可以分解，但不是唯一的。

[[Cholesky分解]]说明每一个实正定对称矩阵都是一个上三角矩阵和它的转置的乘积。

== 實對稱矩陣 ==
'''实對稱矩陣'''是一個元素都为[[实数]]的对称矩陣，用&lt;,&gt;表示<math>R^n</math>上的[[內積]]。<math>n \times n</math>的實矩陣<math>A</math>是對稱的，[[若且唯若]]對於所有<math>x,y\in\mathbb{R}^n</math>，

:<math>\langle Ax,y \rangle = \langle x, Ay\rangle</math>。

实對稱矩陣有以下的性质：
*实对称矩阵A的不同[[特征值]]所对应的[[特征向量]]是[[正交]]的。
*实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
*n阶实对称矩阵A必可[[对角化]]。
*可用[[正交矩阵]]对角化。
*K重特征值必有K个线性无关的特征向量，或者说必有[[秩]]r(λE-A)=n-k。

==黑塞矩阵==
{{Main|Hessian矩阵}}
实对称''n'' × ''n''矩阵出现在二阶连续可微的''n''元函数的[[黑塞矩阵]]之中。

'''R'''<sup>''n''</sup>上的每一个[[二次型]]''q''都可以唯一写成''q''('''x''') = '''x'''<sup>T</sup>''A'''''x'''的形式，其中''A''是对称的''n'' × ''n''矩阵。于是，根据[[谱定理]]，可以说每一个二次型，不考虑'''R'''<sup>''n''</sup>的正交基的选择，“看起来像”：
:<math>q(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2</math>
其中λ<sub>''i''</sub>是实数。这大大简化了二次型的研究，以及水平集{'''x''' : ''q''('''x''') = 1}的研究，它们是[[圆锥曲线]]的推广。

这是很重要的，部分是由于每一个光滑的多元函数的二阶表现，都由属于该函数的黑塞矩阵的二次型描述；这是[[泰勒定理]]的一个结果。

==可对称化矩阵==
矩阵A称为'''可对称化'''的，如果存在一个可逆对角矩阵D和一个对称矩阵S，使得：
:A = DS.

可对称化矩阵的转置也是可对称化的，因为<math>(DS)^T = SD = D^{-1}DSD</math>，而<math>DSD</math>是对称的。


当且仅当<math>A = [a_{jk}]</math>满足以下的条件时，矩阵可对称化：

#如果<math>a_{ij} = 0</math>，那么<math>a_{ji} = 0</math>；
#对于任何有限序列<math>i_1, i_2, ..., i_k</math>，都有<math>a_{i_1i_2} a_{i_2i_3}...a_{i_ki_1} = a_{i_2i_1} a_{i_3i_2}...a_{i_1i_k} </math>。

==与不等式的关系==
对称阵 Z 分解为3行3列:
:<math>
\begin{bmatrix} 
Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\
Z_{12}^T & Z_{22} & Z_{23} \\
Z_{13}^T & Z_{23}^T & Z_{33} 
\end{bmatrix}
</math>
当且仅当
:<math>
\begin{bmatrix} 
Z_{11} & Z_{12} \\
Z_{12}^T & Z_{22}
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 
Z_{11} & Z_{13} \\
Z_{13}^T & Z_{33}
\end{bmatrix}
</math>
时, 存在 <math>X = Z_{13}^T Z_{11}^{-1} Z_{12} - Z_{23}^T</math>, 使得
:<math>
\begin{bmatrix} 
Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\
Z_{12}^T & Z_{22} & Z_{23}+X^T \\
Z_{13}^T & Z_{23}^T+X & Z_{33} 
\end{bmatrix} < 0
</math>
成立。

==参见==
* [[反對稱矩陣|反对称阵]]
* [[循环矩阵]]
* [[汉克尔矩阵]]
* [[特普利茨矩阵]]
* [[中心对称矩阵]]
* [[希尔伯特矩阵]]
* [[考克斯特矩阵]]
* [[协方差矩阵]]

==参考文献==
{{reflist}}
[[Category:矩陣|D]]