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{{no footnotes|time=2016-02-07T20:11:39+00:00}}
'''對數平均溫差'''（logarithmic mean temperature difference）簡稱為'''LMTD'''，是在[[传热]]流體系統（例如[[熱交換器]]中）用來分析溫度推動力的工具。對數平均溫差是在雙管換熱器中冷端及熱端[[溫度]]差的[[對數平均]]。對數平均溫差越大，表示传热量越大。在分析固定流速及流體熱力學性質的熱交換器時，就會出現對數平均溫差。

== 定義 == 
先假設有一個泛用的熱交換器，其二端（稱為A及B）分別有熱蒸氣及冷蒸氣進出，對數平均溫差定義為以下的對數平均：

:<math>LMTD
=\frac{\Delta T_A - \Delta T_B}{\ln \left( \frac{\Delta T_A}{\Delta T_B} \right ) } 
=\frac{\Delta T_A - \Delta T_B}{\ln \Delta T_A - \ln \Delta T_B}</math>

其中
:''&Delta;T<sub>A</sub>''是熱蒸氣及冷蒸氣在A端的溫度差。
: ''&Delta;T<sub>B</sub>''是熱蒸氣及冷蒸氣在B端的溫度差。

依此定義，LMTD可以用來推算熱交換器所傳遞的熱

:<math> Q = U \times Ar \times LMTD</math>

其中
:''Q''是傳遞的熱（單位 [[焦耳|J]]）
:''U''為[[传热系数]]（單位 J/ [[克爾文|K]] m<sup>2</sup>）
:''Ar''為熱交換面積

不過传热系数的估算可能相當的複雜。

[[File:Exchangerflow.svg|thumb|400px|熱交換器的並流（Concurrent）及逆流（countercurrent）]]

若熱交換器是並流（熱蒸氣及冷蒸氣平行，都從某一側進，從另一側出）或是[[逆流熱交換|逆流]]（熱蒸氣及冷蒸氣平行，但各由一側進，從另一側出），以上的式子都會成立。

若是交叉流（cross-flow）熱交換器，也就是熱交換器中有[[散熱片]]，上面的溫度接近定值，其熱交換量和LMTD也會有類似的關係，不過會出現修正係數。若是結構比較複雜的熱交換器（例如{{le|殼管式熱交換器|shell and tube heat exchanger}}），也會有修正係數。

==推導==
假設熱傳導是在沿著''z''軸上，從''A''點到''B''點的熱交換器上進行，熱傳導是在二種流體之間交換能量，分別標示為''1''和''2''，沿著''z''軸的熱量分別是T<sub>1</sub>(z)和 T<sub>2</sub>(z)。

沿著''z''上的局部交換熱通量和其溫度差成正比：

:<math> q(z) = U (T_2(z)-T_1(z))/D =  U (\Delta\;T(z))/D</math>

其中''D''為二流體之間的距離。

流體釋放的熱會依[[傅立葉定律]]產生溫度梯度：

::<math>\frac{\mathrm{d}\,T_1}{\mathrm{d}\,z}=k_a (T_1(z)-T_2(z))=-k_a\,\Delta T(z)</math>
::<math>\frac{\mathrm{d}\,T_2}{\mathrm{d}\,z}=k_b (T_2(z)-T_1(z))=k_b\,\Delta T(z)</math>
相減後，可得

:<math>\frac{\mathrm{d}\,\Delta T}{\mathrm{d}\,z}=\frac{\mathrm{d}\,(T_2-T_1)}{\mathrm{d}\,z}=\frac{\mathrm{d}\,T_2}{\mathrm{d}\,z}-\frac{\mathrm{d}\,T_1}{\mathrm{d}\,z}=K\Delta T(z)</math>
where ''K=k<sub>a</sub>+k<sub>b</sub>''.

交換的總能量可以由''A''點到''B''點的局部熱交換量''q''積分而得：

:<math> Q = \int^{B}_{A} q(z) dz = \frac{U}{D} \int^{B}_{A} \Delta T(z) dz = \frac{U}{D} \int^{B}_{A} \Delta T \,dz</math>

熱交換面積''Ar''為管長''A''-''B''乘以二管間的距離''D''：

:<math> Q = \frac{U Ar}{(B-A)} \int^{B}_{A} \Delta T \,dz = \frac{U Ar \int^{B}_{A} \Delta T \,dz}{\int^{B}_{A} \,dz} </math>

二個積分都作變數變換，積分變數由''z''改為''&Delta; T''：

:<math> Q = \frac{U Ar \int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \Delta T \frac{\mathrm{d}\,z}{\mathrm{d}\,\Delta T}\,d(\Delta T)}{\int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \frac{\mathrm{d}\,z}{\mathrm{d}\,\Delta T}\,d(\Delta T)} </math>

配合上述''&Delta; T''的關係，可得：

:<math> Q = \frac{U Ar \int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \frac{1}{K}\,d(\Delta T)}{\int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \frac{1}{K \Delta T}\,d(\Delta T)} </math>

積分的結果如下：

:<math> Q = U \times Ar \times \frac{\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln [ \Delta T(B) / \Delta T(A) ]} </math>,

也就是對數平均溫差的定義。

== 假設及限制 ==
* 假設二流體溫度的變化率和其溫差成正比，這對固定[[比熱]]的流體有效，流體的溫度變化若在一個較小的範圍，此假設成立，不過若比熱有變化，用計算對數平均溫差計算的熱交換量就不準了。
* LMTD不適用在[[冷凝器]]及{{le|再沸器|reboiler}}中，其中包括了相變化及其[[潛熱]]，因此假設無效。
* 假設熱傳係數''U''為定值，和溫度無關，若熱傳係數和溫度有關，計算的準確度也會下降。
* LMTD是一個穩態的概念，不適用在暫態的分析。特別若LMTD應用在暫態中，其時間較短，熱交換器的二邊溫度梯度的符號相反，對數的引數會出現負值，這也是不允許的。


== 相關條目 ==
*[[NTU法]]

==參考資料==
* {{cite book | url=http://www.cambridge.org/ae/academic/subjects/engineering/thermal-fluids-engineering/fluid-mechanics-and-transfer-processes | title=Fluid Mechanics and Transfer Processes | publisher=Cambridge University Press | author=Kay J M, Nedderman R M' | year=1985 | isbn=9780521316248 | access-date=2016-01-29 | archive-date=2016-02-20 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160220125954/http://www.cambridge.org/ae/academic/subjects/engineering/thermal-fluids-engineering/fluid-mechanics-and-transfer-processes | dead-url=no }}


[[Category:传热]]