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'''射影线性群'''是[[代数学]]里[[群论]]中的一类[[群]]的称呼。射影线性群也叫'''射影一般线性群'''（一般记作 PGL），是某个系数域为<math>\mathbb{K}</math>的[[向量空间]]'''V'''上的[[一般线性群]]在[[射影空间]]  P('''V''') 上诱导的[[群作用]]。具体来说，射影线性群是[[商群]]：
:<math>\mathbb{P}\mathcal{GL}(V) = \mathcal{GL}(V) \bigg/ \mathbb{K}(V)</math>
其中的<math>\mathcal{GL}(V)</math>是'''V'''上的一般线性群，而<math>\mathbb{K}(V)</math>是由'''V'''上的所有[[数乘矩阵|数乘变换]]构成的<math>\mathcal{GL}(V)</math>的[[子群]]<ref name="LG">{{cite book| title = Lectures on linear groups | url = https://archive.org/details/lecturesonlinear0000omea | author = Onorato Timothy O'Meara, Conference Board of the Mathematical Sciences | publisher =American Mathematical Soc.  | year =1974 | isbn =9780821816721 }}</ref>。之所以在<math>\mathcal{GL}(V)</math>中约去<math>\mathbb{K}(V)</math>，是因为它们在射影空间上的作用是平凡的（所以构成群作用的[[核 (代数)|核]]）。<math>\mathbb{K}(V)</math> 有时也被记作 <math>\mathcal{Z}(V)</math>，因为它是一般线性群的[[中心 (群论)|中心]]。

与射影线性群类似的还有射影特殊线性群，一般记作PSL。它的定义与射影线性群相似，只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上。
:<math>\mathbb{P}\mathcal{SL}(V) = \mathcal{SL}(V) \bigg/ \mathcal{SZ}(V)</math>
其中的<math>\mathcal{SL}(V)</math>是'''V'''上的特殊线性群，而<math>\mathcal{SZ}(V)</math>是<math>\mathbb{K}(V)</math>在<math>\mathcal{SL}(V)</math>中的子群（即[[行列式]]等于1的数乘变换构成的子群）<ref name="LG"/>。显然 <math>\mathcal{SZ}(V)</math> 是 <math>\mathcal{SL}(V)</math> 的中心。若<math>V = \mathbb{K}^n</math>（''n'' 维空间），则 <math>\mathcal{SZ}(V)</math> [[同构]]于由''n'' 次[[单位根]]构成的群。

射影线性群与射影特殊线性群都是群论和几何中最常研究的群，即所谓的“[[经典群]]”。射影线性群中的元素称为'''射影线性变换'''。<math>V = \mathbb{K}^n</math>（''n'' 维空间），那么这个射影线性群也记作<math>\mathbb{P}\mathcal{GL}(n, \mathbb{K})</math> 或 <math>\mathbb{P}\mathcal{GL}_n (\mathbb{K})</math>。

[[当且仅当]] <math>\mathbb{K}</math> 中每一个元素的''n'' 次[[根 (数学)|根]]都在 <math>\mathbb{K}</math> 中，例如在 <math>\mathbb{K}</math> [[代数闭域|代数封闭]]（比如是复数域 <math>\mathbb{C}</math>）的时候，射影线性群与射影特殊线性群等同。<math>\mathbb{P}\mathcal{GL}(2, \mathbb{C}) = \mathbb{P}\mathcal{SL}(2, \mathbb{C}) </math>。但是系数域为实数的时候，就有<math>\mathbb{P}\mathcal{GL}(2, \mathbb{R}) > \mathbb{P}\mathcal{SL}(2, \mathbb{R}) </math><ref>Gareth A. Jones and David Silverman. (1987)  Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint.  Cambridge UP.  [http://books.google.com/books?id=jJhWM4vAyVMC&pg=PA20&lpg=PA20&dq=psl+pgl&source=bl&ots=Pvz8p2pdOD&sig=oDH3P-vF-SZpqyl0FzUJSalZdlE&hl=en&ei=zIIASqXRHpH2MNqx2N8H&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9#PPA20,M1 Discussion of PSL and PGL on page 20 in google books] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=jJhWM4vAyVMC&pg=PA20&lpg=PA20&dq=psl+pgl&source=bl&ots=Pvz8p2pdOD&sig=oDH3P-vF-SZpqyl0FzUJSalZdlE&hl=en&ei=zIIASqXRHpH2MNqx2N8H&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9#PPA20,M1 |date=20180830075150 }}</ref>。几何的解释是：实射影直线是有向的，而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换。

射影线性群与射影特殊线性群也可以在[[环 (代数)|环]]上定义，一个重要的例子是[[模群]]<math>\mathbb{P}\mathcal{GL}(2, \mathbb{Z})</math>。

==参考来源==
{{reflist}}

[[Category:李群]]
[[Category:射影几何]]

[[de:Allgemeine lineare Gruppe#Projektive lineare Gruppe]]