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{{About|有關直角三角形的幾何定理|存在無限多個質數的數論定理|歐幾里得定理}}
{{noteTA
|T=zh-tw:母子相似定理;zh-hans:射影定理
}}

'''射影定理（台灣稱「母子相似定理」)'''（{{lang-en|Geometric Mean Theorem}}），又稱'''歐幾里得定理'''（{{lang-en|Euclid's theorem}}），是[[平面幾何]]中的一個[[定理]]。這個定理指出，在一個[[直角三角形]]中，一條[[直角邊]]的平方，相等於三角形的[[斜邊]]乘以該直角邊在斜邊上的正投影。<ref name="Cao">{{cite book|author=曹才翰 主編 |coauthors=沈復興, 孫瑞清, 餘炯沛等 副編 |title=《中國中學教學百科全書 • 數學卷》 |year=1991 |publisher=瀋陽出版社|isbn=9787805564241}}</ref>這個定理出現在[[歐幾里得]]所著《[[幾何原本]]》第一卷當中，是第 47 個命題[[畢氏定理]]證明過程的一部分。<ref name="Euclid_I47">{{cite book|author=Euclid|title=Proposition 47, ''Element'', Book I|year=c 300 BC|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html|access-date=2020-02-15|archive-date=2021-02-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20210224122709/https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html|dead-url=no}}</ref>

== 定理內容 ==

[[File:射影定理 2.jpg|400px|right|thumb|在 {{math|Δ''ABC''}} 中，{{math|1= ∠''C'' = 90°}}，以及 {{math|''CD'' ⊥ ''AB''}}。{{math|''AD''}} 及 {{math|''BD''}} 分別是 {{math|''AC''}} 及 {{math|''BC''}} 在底邊 {{math|''AB''}} 的正投影。]]

在 {{math|Δ''ABC''}} 中，{{math|1= ∠''C'' = 90°}}。設 {{math|''CD''}} 在 {{math|''AB''}} 的上的高，則有：
:<math>{AC}^2=AD \cdot AB</math>
:<math>{BC}^2=BD \cdot AB</math>
:<math>{CD}^2=AD \cdot BD</math>

在這裡，{{math|''AD''}} 及 {{math|''BD''}} 分別是 {{math|''AC''}} 及 {{math|''BC''}} 在底邊 {{math|''AB''}} 的[[正投影]]，故定理以此為名。

== 證明 ==

注意到 {{math|Δ''ABC''}} 與 {{math|Δ''ACD''}} 是[[相似三角形]]。因此可得
:<math>\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}</math>

整理可得
:<math>{AC}^2=AD \cdot AB</math>

同理，考慮相似三角形 {{math|Δ''ABC''}} 與 {{math|Δ''CBD''}}，可得
:<math>\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}</math>

整理可得
:<math>{BC}^2=BD \cdot AB</math>

證明完畢。

==相關定理==

===直角三角形面積===

在上面的 {{math|Δ''ABC''}} 中，我們有：
:<math>AB \cdot CD = AC \cdot BC</math>

考慮三角形的[[面積]]，即可容易地證明。

=== 勾股定理 ===

[[勾股定理]]，是[[歐幾里得]]所著《[[幾何原本]]》第一卷當中的第 47 個命題。<ref name="Euclid_I47">{{cite book|author=Euclid  |title=Proposition 47, ''Element'', Book I|year=c 300 BC|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html}}</ref>這個定理指出：

:<math>{AB}^2 = {AC}^2+{BC}^2</math>

勾股定理與射影定理有密切關係。事實上，在《幾何原本》中，射影定理正是該證明過程的一部分。從射影定理可知：
:<math>{AC}^2=AD \cdot AB</math>
:<math>{BC}^2=BD \cdot AB</math>

將兩條等式相加，則可得：
:<math>{AC}^2+{BC}^2=AD \cdot AB + BD \cdot AB</math>

由於 {{math|1= ''AD'' + ''BD'' = ''AB''}}，因此可得：
:<math>{AB}^2 = {AC}^2+{BC}^2</math>

證明完畢。

===幾何平均定理===

{{le|幾何平均定理|Geometric mean theorem}}，是在《幾何原本》第六卷中的第 8 個命題。<ref name="Euclid_VI8">{{cite book|author=Euclid|title=Proposition 8, ''Element'', Book VI|year=c 300 BC|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html|access-date=2020-02-15|archive-date=2020-02-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20200203180250/https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html|dead-url=no}}</ref>這個定理指出：

:<math>{CD}^2=AD \cdot BD</math>

也就是說，{{math|''CD''}} 是 {{math|''AD''}} 和 {{math|''BD''}} 的[[幾何平均]]。

與射影定理一樣，幾何平均定理可從相似三角形得證。

==一般三角形的情況==

[[File:Triangle-with-cosines.svg|200px|right|thumb|邊長 {{math|''a''}} 及 {{math|''b''}} 在底邊 {{math|''c''}} 的正投影，分別是 {{math|''a'' cos ''β''}} 及 {{math|''b'' cos ''α''}}。]]

對於 {{math|1= ∠''C'' ≠ 90°}} 的情況，三角形邊長的正投影可用[[餘弦]]求得：

:<math>AD=AC \cos \angle A</math>
:<math>BD=BC \cos \angle B</math>

以上結果從餘弦的定義直接可得。

把上面兩式相加，即可得：

:<math>AB=AC \cos \angle A + BC \cos \angle B</math>

以上公式，又被稱為「第一餘弦定理」。<ref>{{cite book|author=中原晴彦|title=エジプト人のための三角比入門|year=2003|publisher=順天サイエンスライブラリー|url=https://www.junten.ed.jp/contents/wp-content/uploads/2013/04/118fb2cb408bb2e41f392ab5dcbe6215.pdf|access-date=2020-02-15|archive-date=2020-02-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20200215164719/https://www.junten.ed.jp/contents/wp-content/uploads/2013/04/118fb2cb408bb2e41f392ab5dcbe6215.pdf|dead-url=no}}</ref>然而，一般「餘弦定理」所指的，是另一條定理（「第二餘弦定理」），詳見[[餘弦定理]]。

==三維空間上的推廣==

===三直角四面體===

[[File:Triangular_Pyramid_(Tetrahedron).svg|200px|right|thumb|一個四面體。若構成頂點的三個面角皆為直角，則這是一個三直角四面體。]]

射影定理在[[三維空間]]上，也有相應的推廣。設{{le|三直角四面體|Trirectangular tetrahedron}} {{math|''ABCD''}} 中，{{math|1= ∠''ADB'' = ∠''ADC'' = ∠''BDC'' = 90°}}。又設 {{math|''D''}} 在斜面 {{math|Δ''ABC''}} 的[[正投影]]為 {{math|''E''}}。我們則有：

:<math>[\triangle ADB]^2= [ \triangle AEB] \cdot [ \triangle ABC] </math>
:<math>[\triangle ADC]^2= [ \triangle AEC] \cdot [ \triangle ABC] </math>
:<math>[\triangle BDC]^2= [ \triangle BEC] \cdot [ \triangle ABC] </math>

其中 {{math|[Δ''ABC'']}} 表示 {{math|Δ''ABC''}} 的[[面積]]。

把以上三條等式相加，則可得[[德古阿定理]]：

:<math>[ \triangle ABC]^2  = [\triangle ADB]^2 + [\triangle ADC]^2 + [\triangle BDC]^2</math>

德古阿定理可以視為[[畢氏定理]]在三維空間上的其中一種推廣。<ref>{{cite book|author=Sergio A. Alvarez|title=Note on an n-dimensional Pythagorean theorem|publisher=Center for Nonlinear Analysis and Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University|url=http://www.cs.bc.edu/~alvarez/NDPyt.pdf|access-date=2020-02-15|archive-date=2012-10-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20121002171401/http://www.cs.bc.edu/~alvarez/NDPyt.pdf|dead-url=no}}</ref>

===一般四面體===

在[[四面體]] {{math|''ABCD''}} 中，設 {{math|Δ''ABC''}} 為底面。又設 {{math|''D''}} 在 {{math|Δ''ABC''}} 的[[正投影]]為 {{math|''E''}}。我們則有：

:<math>AE=AD \cos \alpha</math>
:<math>BE=BD \cos \beta</math>
:<math>CE=CD \cos \gamma</math>

其中 {{math|''α''}} 、{{math|''β''}} 及 {{math|''γ''}} 分別是 {{math|''AD''}} 、{{math|''BD''}} 及 {{math|''CD''}}  與底面 {{math|Δ''ABC''}} 的夾角。

另外亦有：

:<math>[\triangle ABE]=[\triangle ABD] \cos \theta</math>
:<math>[\triangle ACE]=[\triangle ACD] \cos \phi</math>
:<math>[\triangle BCE]=[\triangle BCD] \cos \psi</math>

其中 {{math|''θ''}} 、{{math|''ϕ''}} 及 {{math|''ψ''}} 分別是 {{math|Δ''ABD''}} 、{{math|Δ''ACD''}} 及 {{math|Δ''BCD''}}  與底面 {{math|Δ''ABC''}} 的夾角。

將上面三條等式相加，可得：

:<math>[\triangle ABC]=[\triangle ABD] \cos \theta + [\triangle ACD] \cos \phi + [\triangle BCD] \cos \psi</math>

是上面提到「第一餘弦定理」的三維推廣。

===任意圖形的投影===

更進一步地說，面積為 {{math|''S''}} 的任意平面圖形，在底面的正投影的面積 {{math|''S''<sub>proj</sub>}}，都可用餘弦求得：

:<math>S_\mathrm{proj} = S \cos \theta</math>

其中 {{math|''θ''}} 是該平面圖形與底面的夾角。

== 參考資料 ==
{{reflist}}

==參見==
*[[正投影]]
*[[直角三角形]]
*{{le|三直角四面體|Trirectangular tetrahedron}}
*[[畢氏定理]]
*{{le|幾何平均定理|Geometric mean theorem}}
*[[德古阿定理]]

[[Category:幾何學]]
[[Category:數學定理]]