查看“︁导子”︁的源代码

'''导子'''（{{lang-en|derivation}}）在[[抽象代数]]中是指[[域上的代数|代数]]上的一个函数，推广了[[导数]]算子的某些特征。明确地，给定一个环或[[体 (数学)|域]] ''k'' 上一个代数 ''A''，一个 ''k''-导子是一个 ''k''-[[线性映射]] ''D'':&nbsp;''A''&nbsp;&rarr;&nbsp;''A''，满足[[乘积法则|莱布尼兹法则]]：

:<math> D(ab) = (Da)b + a(Db)\ .</math>

更一般地，从 ''A'' 映到 ''A''-[[模]] ''M'' 的一个 ''k''-线性映射 ''D''，满足莱布尼兹法则也称为一个导子。A  所有到自身的 ''k''-导子集合记为 Der<sub>''k''</sub>(''A'')。从 ''A'' 到 ''A''-模 ''M'' 的所有 ''k''-导子集合记为 Der<sub>''k''</sub>(''A'',''M'')。

导子在不同的数学领域以许多不同的面貌出现。关于一个变量的[[偏导数]]是 '''R'''<sup>n</sup> 上实值可微函数组成的代数上的一个 '''R'''-导子。关于一个[[向量场]]的[[李导数]]是[[可微流形]]上可微函数代数上的 '''R'''-导子；更一般地，它是流形上[[张量代数]]的导子。{{le|平彻尔导数|Pincherle derivative}}是一个抽象代数上的导子的例子。如果代数 ''A'' [[非交换代数|非交换]]，则关于 ''A'' 中一个元素的[[交换子]]定义了 ''A'' 到自身的线性映射，这是 ''A'' 的一个 ''k''-导子。一个代数 ''A'' 装备一个特定的导子 ''d'' 组成了一个[[微分代数]]，这自身便是一些研究领域的一个重要对象，比如微分[[伽罗瓦理论]]。

==性质==
莱布尼兹法则本身有一系列直接推论。首先，如果 ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>,&nbsp;…&nbsp;,''x''<sub>''n''</sub> &isin; ''A''，那么由[[数学归纳法]]得出

:<math>D(x_1x_2\cdots x_n) = \sum_i x_1\dots x_{i-1}D(x_i)x_{i+1}\cdots x_n\ .</math>

特别地，如果 ''A'' 可交换且 ''x''<sub>1</sub>=''x''<sub>2</sub>=…=''x''<sub>''n''</sub>，那么此公式简化成熟悉的[[幂法则]] ''D''(''x''<sup>''n''</sup>) = ''nx''<sup>''n''-1</sup>''D''(''x'')。如果 A 是有单位的，则 D(1) = 0 因为 D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1)。从而，因 D 是 k-线性的，推出对所有 x∈k 有 D(x)=0。如果 ''k'' &sub; ''K'' 是一个[[子环]]，''A'' 是一个 ''K''-代数，则有包含关系

:<math>Der_K(A,M)\subset Der_k(A,M)\ ,</math>

因为任何 ''K''-导子当然是一个 ''k''-导子。

从 ''A'' 到 ''M'' 的 ''k''-导子的集合，Der<sub>''k''</sub>(''A'',''M'') 是 ''k''-上的一个[[模]]。而且，''k''-模 Der<sub>''k''</sub>(''A'') 组成了一个[[李代数]]其[[李括号]]定义为[[交换子]]：

:<math>[D_1,D_2] = D_1\circ D_2 - D_2\circ D_1\ .</math>

容易验证两个导子的李括号仍然是一个导子。

==分次导子==
如果我们有一个[[分次代数]] ''A''，''D'' 是 ''A'' 上一个阶数 ''d'' = |''D''| 的[[齐次函数|齐次]]线性映射，则 ''D'' 是一个'''齐次导子'''如果

<math>\scriptstyle{D(ab)=D(a)b+\epsilon^{|a||D|}aD(b)}, \epsilon = \pm 1</math> 
作用在 ''A'' 的齐次元素上。一个'''分次导子'''是具有相同 &epsilon; 的一些齐次导子的和。

如果交换因子 &epsilon; = 1，定义变为通常情形；如果 &epsilon; = -1，那么对[[奇数]] |''D''| 有<math>\scriptstyle{D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}</math>，它们称为'''反导子'''。

反导子的例子包含作用在[[微分形式]]上的[[外导数]]与[[内乘]]。

[[超代数]]（即：'''Z'''<sub>2</sub>-分次代数）的分次导子经常称为'''超导子'''。

==另见==

* 在初等[[微分几何]]中导子是[[切空间|切向量]]；
*[[凯勒微分]]

==参考文献==
* {{Citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=Algebra I|year=1989|publisher=Springer-Verlag|isbn=3-540-64243-9|series=Elements of mathematics}}.
* {{citation|first=David|authorlink=David Eisenbud|last=Eisenbud|title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|isbn=978-0387942698|publisher=Springer-Verlag|year=1999|edition=3rd.}}.
* {{citation|first=Hideyuki|last=Matsumura|title=Commutative algebra|publisher=W. A. Benjamin|year=1970|series=Mathematics lecture note series|isbn=978-0805370256}}.
* {{citation|title=Natural operations in differential geometry|first1=Ivan|last1=Kolař|first2=Jan|last2=Slovák|first3=Peter W.|last3=Michor|year=1993|publisher=Springer-Verlag|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html|accessdate=2008-11-13|archive-date=2021-02-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210214155703/https://www.emis.de/monographs/KSM/index.html|dead-url=no}}.



[[Category:微分代数]]