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{{Other uses|對稱}}

'''对{{zy|称|chèn|ㄔㄥˋ|cing3}}'''不只出現在[[幾何學]]中，也在數學領域的其他分支中出現，对称其實就是[[不變量]]，是指某特性不隨{{link-en|數學轉換|Transformation (mathematics)}}而變化。

若一個物件可以藉由另一個物件的不變轉換來得到，二個物件藉由不變轉換有互相对称關係，這是一種[[等价关系]]。

在[[對稱函數]]中，函數的輸出值不隨輸入變數的排列而改變，這些排列形成一個[[群]]，也就是[[對稱群 (n次對稱群)|對稱群]]。在[[欧几里得几何]]中的[[等距同构]]中，也有使用「對稱群」一詞，更廣泛的用法是[[自同构]]群。

==對稱關係==
{{Main|對稱關係}}

若某一種[[二元关系]]，使得每次只要若a關係到b，b也關係到a，則此關係稱為[[對稱關係]]<ref name="离散数学">{{cite book 
 |author= 屈婉玲,耿素云,张立昂
 |title= 离散数学
 |year= 2005
 |publisher= 清华大学出版社有限公司
 |location= 北京
 |isbn= 7302107572
 |url=http://books.google.com.tw/books?id=jqnHnS1zu-YC&pg=PR48-IA26#v=onepage&q&f=false
 |page=125
}}</ref>。例如[[等於]]和[[同餘]]就是一種對稱關係，以非數學的例子而言，「和……結婚」也是一種對稱關係。

這種對稱不完全是[[反对称关系]]的反義。有些關係可能同時是對稱關係及[[反對稱關係]]（像[[等於]]關係），也有些關係既不是對稱關係也不是[[反對稱關係]]<ref name="离散数学"/>。

==對稱函數==
在[[對稱函數]]中，函數的輸出值不隨輸入變數的排列而改變。從函數的形式中可以看出若輸入變數排列後，方程式不會改變。例如

*''a''<sup>2</sup>''c''+3''ab''+''b''<sup>2</sup>''c''，在''a''和''b''對調後其值不變。

* 對於一個球體．若φ為其方位角，θ為其天頂角，''r''為半徑，則[[大圓距離]]可以表示為<math>d(\theta_1, \varphi_1, \theta_2, \varphi_2) = r \cos^{-1}\left(\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\varphi_1 - \varphi_2)\right).</math>

根據上述的距離公式，可以看出一些對稱性，在以下變換下，距離不變：
:天頂角各加某特定角度。
:其方位角對調、天頂角對調，或是兩者都對調。

==代數中==

一[[對稱矩陣]]可以視為是行編號及列編號的對稱函數，行編號和列編號對調後，數值不變。一些有適當光滑性的函數，其二階偏導數也可以視為是對稱函數，參照[[二阶导数的对称性]]。

一個[[二元關係]]為[[對稱關係]]若且唯若其[[布尔值函数]]為對稱函數。

一個二元關係滿足[[交換律]]若其運算子（可視為二個變數的函數）為為對稱函數。滿足交換律的二元關係包括[[聯集]]，[[交集]]及[[对称差]]。

[[伽羅瓦理論]]的主題在處理[[域_(數學)|數學域]]中隱藏的對稱性。

[[對偶 (數學)|對偶]]也是一個和對稱有關的數學概念。

==幾何中==
在坐標空間中可以考慮幾何中的[[對稱]]。如果稱一物件為對一給定的[[運算]]為''對稱''的話，即表示若作用在此一物件上時，此一運算並不會改變此物件或其外觀。在二維幾何中，較有興趣的幾種主要的對稱為相對於基本之[[歐幾里得空間等距]]的：[[平移]]、[[旋轉]]、[[镜面反射 (数学)|鏡射]]及{{tsl|en|Glide reflection|滑移鏡射}}，可以用[[點群]]表示。三維空間中的[[三維點群]]則更為複雜。

在二十世紀以前，[[群]]和[[变换群]]（[[群作用]]）為同義詞，一直到二十世紀初期才有不用群作用來定義群的抽象定義。

== 微分方程的對稱 ==

[[微分方程]]的對稱是指不改變微分方程的变换，這些對稱的知識有助於微分方程的求解。

{{link-en|微分方程系統|system of differential equations}}的{{link-en|Lie對稱|Lie symmetry}}是指一個微分方程系統的連續對稱，Lie對稱的知識可以藉由{{link-en|降階|Reduction of order}}的方程簡化常微分方程<ref name=olver>{{cite book
 |last1        = Olver
 |first1       = Peter J.
 |title        = Applications of Lie Groups to Differential Equations
 |year         = 1986
 |publisher    = Springer Verlag
 |place        = New York
 |isbn         = 978-0-387-95000-6
 |url          = http://books.google.co.uk/books?id=sI2bAxgLMXYC&lpg=PP1&ots=cZKfSvIB1X&dq=Applications%20of%20Lie%20Groups%20to%20Differential%20Equations&pg=PA24#v=onepage&q=&f=false
 |access-date  = 2013-08-03
 |archive-date = 2012-11-09
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20121109145235/http://books.google.co.uk/books?id=sI2bAxgLMXYC&lpg=PP1&ots=cZKfSvIB1X&dq=Applications%20of%20Lie%20Groups%20to%20Differential%20Equations&pg=PA24#v=onepage&q=&f=false
 |dead-url     = no
}}</ref>。
<!--
針對[[常微分方程]]knowledge of an appropriate set of Lie symmetries allows one to explicitly calculate a set of first integrals, yielding a complete solution without integration.

Symmetries may be found by solving a related set of ordinary differential equations.<ref name=olver /> Solving these equations is often much simpler than solving the original differential equations.-->

==互相對稱的物件==
若二物件對一組給定的運算為對稱的話，可以藉由一個物件再配合運算，得到另一個物件，這是一種[[等價關係]]。

==随机性==
随机性的概念一般是指其[[機率分佈]]對於所有輸出有最大的對稱性。

若是輸出只有有限個可能輸出，而對於輸出的重新排列有對稱性，表示為[[離散型均勻分佈]]。若是輸出為一實數區間，而對於輸出中各個長度相同的子區間可以重新排列，仍有對稱性，表示為[[連續型均勻分布]]。

在其他例子中，像「随机選擇一個整數」或「随机選擇一個實數」，其中未提及機率分佈中對於輸出的重新排列或重新排列長度相同的子區間有對稱性。其他合理的對稱性也無法限制到只允許一組機率分佈，因此可以提供最大對稱性的機率分佈並不唯一。

例如一種可能輸出所有正數的對稱随机性，可以將連續型均勻分布再乘上對數，其輸出和倒數的輸出會有相同的分佈，不過符合此條件的機率分佈也不止一種。

若是在平面或是空間中的随机點，可以先選取原點，再考慮一個有圓對稱性或球對稱性的機率分佈。

==反對稱==
[[Image:Yin yang.svg|thumb|100px|[[太極圖]]]]
一個二個變數的函數，若滿足''f''(''y'', ''x'') = &minus;''f''(''x'', ''y'')，此函數即為[[反對稱]]。此性質隱含''f''(''x'', ''x'') = 0（除了在[[特征_(代数)|特征]]為2的[[域 (數學)|域]]中以外）。一個[[反對稱矩陣]]若視為行編號及列編號的函數，也符合相同條件。

此特性在運算子中也稱為[[反交換律]]。
<!--
In the definition of an [[antisymmetric relation]], "minus" is replaced by "not", and the condition is necessarily relaxed, to be required only in the case ''x'' ≠ ''y''.  The corresponding 2D set has a special kind of geometric "symmetry".

More generally, a figure may be such that a particular [[Involution (mathematics)|involution]] (reflection in a point or line, or e.g. a  [[Conformal mapping#Complex analysis|circle reflection]]) interchanges e.g. black and white. For example, this applies for the [[taijitu]] (symbol of [[yin and yang]]) with respect to point inversion.-->

==機率論中的對稱==
在[[機率論]]中，從一個随机事件的對稱，可以推導出随机的機率分佈。
例如骰子擲出任何一面都是對稱的随机事件，因此[[样本空间]] {1, 2, 3, 4, 5, 6}有幾乎相同的機率。

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:對稱]]