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{{NoteTA|G1=Math}}
{{Distinguish|空間對稱群}}
[[File:Symmetric group 4; Cayley graph 4,9.svg|thumb|300px|對稱群''S''<sub>4</sub>的[[凯莱图]]]]

数学上，集合''X''上的'''对称群'''记作S<sub>''X''</sub>或Sym(''X'')。它的元素是所有''X''到''X''自身的双射。由于恒等函数是双射，双射的反函数也是双射，并且两个双射的复合仍是双射，这个集合关于函数的复合成为群，即是'''置换群'''Sym(''X'')。两个函数的复合一般记作''f'' o ''g''，在置换群的表示里简记作''fg''。

对称群在很多不同的数学领域中，都扮演了重要角色。包括：伽罗华理论、不变量理论、李群的表示理论和组合学等等。

==有限置换群==

各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要性。 

:令''X'' = {1,...,''n''}，

称''X''上的对称群是S<sub>''n''</sub>。
''X''上所有的[[排列]]构成了全部一一映射的集合，因此，S<sub>''n''</sub>有[[阶乘|''n''!]]个元素。对''n'' > 2，S<sub>''n''</sub>不是[[阿贝尔群]]。当且仅当''n'' ≤ 4时，S<sub>''n''</sub>是[[可解群]]。对称群的子群称为[[置换群]]。

==置换的乘积==

对称群中，两个置换的乘积就是指双射函數的[[复合函数|复合]]，由符号"∘"（{{Unichar|2218}}）來表示，也可以省略。例如：

: <math> f = (1\ 3)(4\ 5)(2)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{bmatrix} </math> 

: <math> g = (1\ 2\ 5)(3\ 4)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{bmatrix} </math>
''f''与''g''的复合应先适用''g''，其后适用''f''。那么在''g''中的次序1将先被映射為元素2，然后再由 ''f''的次序2变换成元素2，''g''的次序2先映射為5，然后由 ''f''的次序5变换成4；3被 ''f∘g''变换成5，如此类推。所以 ''f''乘以''g''是：
: <math> fg = f\circ g = (1\ 2\ 4)(3\ 5)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3\end{bmatrix}</math>

容易证明长度为L =''k·m''的[[对称群 (n次对称群)#轮换|轮换]](或稱循環，如下節敘述)，它的''k''次方会分解为''k''个长度为''m''的轮换。比如({{nowrap|1=''k'' = 2}}, {{nowrap|1=''m'' = 3}})：

: <math> (1~2~3~4~5~6)^2 = (1~3~5) (2~4~6) ~</math>。

==对换==

'''对换'''指只交换集合中的两个元素而使其他元素仍变换到自身的置换，例如(1 3)。每个置换都能写成一系列对换的乘积。比如上例中的''g'' = (1 2)(2 5)(3 4)。

由于''g''能被写成奇数个对换的乘积，''g''是一个'''奇置换'''。与此相反的，''f''是一个偶置换。

一个置换表达成对换乘积的方式不是唯一的，但每种表达方式中对换的个数的奇偶性不变，可以据此定义奇置换和偶置换。

两个偶置换的乘积是偶置换，两个奇置换的乘积是偶置换，奇置换和偶置换的乘积是奇置换，偶置换和奇置换的乘积是奇置换。于是可以定义置换的'''正負號'''（sign）：

:<math>\operatorname{sgn}(f)=\left\{\begin{matrix} +1, & \mbox{if }f\mbox { is even} \\ -1, & \mbox{if }f \mbox{ is odd} \end{matrix}\right.</math>

在这个定义下，
:sgn: S<sub>''n''</sub> → {+1,-1}
是一个[[群同态]]。({+1,-1}关于乘法构成群)，这个同态的同态[[核 (代数)|核]]是所有的偶置换，称作[[交错群|n次交错群]]，记作A<sub>''n''</sub>。它是S<sub>''n''</sub>的[[正规子群]]，有''n''! / 2个元素。

置换的正負號也可以定义为：

:<math>\operatorname{sgn}(f)=(-1)^{n-O(n)}</math>

其中n-O(n)表示置换''f''的'''[[轮换指数]]'''，O(n)表示置换''f''的'''[[轨道]]'''（orbit）数。群S<sub>''n''</sub>是A<sub>''n''</sub>和由一個單一對換生成的任何子群的[[半直積]]。

==轮换==

'''轮换'''指一种置换''f''，使得对集合{1,...,''n''}中的某个''x''，''x'', ''f''(''x''), ''f''<sup>2</sup>(''x''), ..., ''f''<sup>''k''</sup>(''x'') = ''x''是''f''作用下不映射到自身的所有元素。比如说，以下的置换''h'' 

:<math>h = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 1 & 3 & 5\end{bmatrix}</math>

就是一个轮换。因为''h''(1) = 4, ''h''(3) = 1，''h''(4) = 3。2，5不变。我们将这个轮换记作(1 4 3)，它的长度是3。轮换的阶数等于它的长度。如果两个轮换移动的元素皆不相同，则称它们'''不交'''。不交的轮换是可交换的，例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每个S<sub>''n''</sub>中的元素都可以写成若干个互不相交的轮换的乘积。如果不计轮换的排列次序，这种表示是唯一的。

==共轭类==

S<sub>''n''</sub>的[[共轭类]]是对于置换轮换表达的结构来说的。两个置换共轭，当且仅当在它们的轮换表达中，轮换的数量以及长度都相等。比如说，在S<sub>5</sub>中， (1 2 3)(4 5)与(1 4 3)(2 5)共轭，但不与(1 2)(4 5)共轭。 

==凱萊定理==
{{main|凱萊定理}}
:凱萊定理：任意群G都与某个[[变换群]]同构。
:推论：任意有限群都与某个[[置换群]]同构。

== 參見 ==
*[[楊對稱化子]]

{{ModernAlgebra}}

[[Category:置换群|D]]
[[Category:有限群|D]]
[[Category:抽象代数|D]]
[[Category:对称]]