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'''对称双线性形式'''是在[[向量空间]]上的对称[[双线性形式]]。它们在正交极性和[[二次曲面 (射影几何)|二次曲面]]的研究中非常重要。

==定义==
设 '' V'' 在域 ''K'' 上的 ''n'' 维向量空间。[[函数|映射]] <math>B : V\times V\rightarrow K:(u,v)\rightarrow B(u,v)</math> 是这个空间上的对称双线性形式，如果:
* <math>B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v \in V</math>
* <math>B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\  \quad \forall u,v,w \in V</math>
* <math>B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w \in V</math>

最后两个公理只蕴涵在第一个参数中的线性，但是第一个公理直接蕴涵了在第二个参数中的线性。

==矩阵表示==

设 <math>C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}</math> 是 ''V'' 的基。定义 <math>n\times n</math> 矩阵 ''A'' 通过 <math>A_{ij}=B(e_{i},e_{j}) \,</math>。矩阵 ''A'' 是对称的完全由于双线性形式的对称性。如果 <math>n\times 1</math> 矩阵 ''x'' 表示关于这个基的一个向量 ''v''，类似的 ''y'' 表示 ''w''，则 <math>B(v,w) \,</math> 给出为: 

:<math>x^{T} A y=y^{T} A x \,</math>。

假设 '' C' '' 是 ''V'' 的另一个基，有着可逆的 <math>n\times n</math> 矩阵 ''S'' 使得:
<math>\begin{bmatrix}e'_{1} & \cdots & e'_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e_{1} & \cdots & e_{n}\end{bmatrix}S</math>。现在对称双线性形式的新矩阵表示给出为

:<math>A' =S^{T} A S \,</math>。

==正交性和奇异性==

对称双线性形式总是自反的。定义两个向量 ''v'' 和 ''w'' 是关于双线性形式 ''B'' 是正交的，如果 <math>B(v,w)=0</math>，由于自反性它等价于 <math>B(w,v)=0</math>。

双线性形式 ''B'' 的'''根'''是正交于 ''V'' 中所有其他向量的向量的集合。你可以轻易查出它是 ''V'' 的子空间。在使用关于特定基的矩阵表示 ''A'' 的时候，由 ''x'' 表示的 ''v'' 在根中，当且仅当

:<math>A x=0 \Longleftrightarrow x^{T} A=0.</math>

矩阵 ''A'' 是奇异的，当且仅当根是不平凡的。

如果 ''W'' 是 ''V'' 的子空间，则正交于 ''W'' 中所有向量的集合 <math>W^{\perp}</math> 也是子空间。当 ''B'' 的根是平凡的时候，<math>W^{\perp}</math> 的维度是 ''n'' &minus; dim(''W'')。

==正交基==

基 <math>C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}</math> 关于 B 是正交的，当且仅当:

:<math>B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.</math>

在域的[[特征 (代数)|特征]]不是2的时候，总存在正交基。这可以通过[[数学归纳法|归纳法]]证明。

基 ''C'' 是正交的，当且仅当矩阵表示 ''A'' 是[[对角矩阵]]。

===西尔维斯特惯性定理与惯性指数 ===
一般情况下，[[西尔维斯特]]发现的[[惯性定理]]声称，在''K''为[[有序域]]的时候，简化后的二次型的矩阵表示中的对角元素等于 0、正或负的数目独立于正交基的选择。后两个数被称为双线性形式的正、负惯性指数<ref>[http://public.hbmy.edu.cn/algebra/images/stories/06/06-05-04.doc]{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>。

===实数情况===

当工作于在实数上的空间的时候，可以走的远一点。
设 <math>C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}</math> 是正交基。

我们定义一个新基 <math>C'=\{e'_{1},\ldots,e'_{n}\}</math>

:<math>e'_{i} = \left\{
\begin{matrix} 
e_{i} & \mbox{if } B(e_{i},e_{i})=0  \\ 
\frac{e_{i}}{\sqrt{B(e_{i},e_{i})}} & \mbox{if } B(e_{i},e_{i}) >0\\
\frac{e_{i}}{\sqrt{-B(e_{i},e_{i})}}& \mbox{if } B(e_{i},e_{i}) <0
\end{matrix}\right.</math>

现在，新矩阵表示 ''A'' 将是在对角线上只有 0,1 和 -1 的对角矩阵。零将出现当且仅当根是非平凡的。

=== 复数情况 ===

当工作于在复数之上的空间中的时候，可以相当容易的走的更远一点。
设 <math>C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}</math> 是正交基。

我们定义新的基 <math>C'=\{e'_{1},\ldots,e'_{n}\}</math> :

:<math>e'_{i} = \left\{
\begin{matrix} 
e_{i} & \mbox{if }\; B(e_{i},e_{i})=0  \\ 
e_{i}/\sqrt{B(e_{i},e_{i})} & \mbox{if }\; B(e_{i},e_{i}) \neq 0\\
\end{matrix}\right.</math>

现在新矩阵表示 ''A'' 将是在对角线上只有 0 和 1 的对角矩阵。零将出现当且仅当根是非平凡的。

==正交极性==

设 ''B'' 是双线性形式，它带有不同于 2 的[[特征 (代数)|特征]]的域 ''K'' 上的空间 ''V'' 上的根。现在可以定义从 ''V'' 的所有子空间的集合 D(V) 到自身的映射:

:<math>\alpha:D(V)\rightarrow D(V) :W\mapsto W^{\perp}</math>

这个映射是在[[投影空间]] ''PG(W)'' 上的'''正交极性'''。反过来说，你可以证明所有正交极性可以用这种方式引出，并且带有平凡根的两个对称双线性形式引发同样的极化，当且仅当它们差一個标量乘法。


== 參考文獻 ==

{{reflist}}

[[Category:双线性形式|D]]