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[[数学]]中，'''对称化'''是将''n''元任意[[函数]]转换为''n''元[[对称函数]]的过程。同样，'''反对称化'''将''n''元任意函数转换为[[反对称关系|反对称]]函数。

==二元==
令''S''为[[集合]]，''A''是[[加法群|加法]][[阿贝尔群]]。映射<math>\alpha : S \times S \to A</math>，若满足以下条件，则称其为'''对称映射'''：
<math display=block>\alpha(s,t) = \alpha(t,s) \quad \forall  s, t \in S.</math>
若满足以下条件，则称其为'''反对称映射'''：
<math display=block>\alpha(s,t) = - \alpha(t,s) \quad \forall  s, t \in S.</math>

映射<math>\alpha : S \times S \to A</math>的'''对称化'''是映射<math>(x,y) \mapsto \alpha(x,y) + \alpha(y,x).</math>
相似地，映射<math>\alpha : S \times S \to A</math>的'''反对称化'''或'''斜对称化'''是映射<math>(x,y) \mapsto \alpha(x,y) - \alpha(y,x).</math>

映射<math>\alpha</math>的对称化与反对称化之和为<math>2 \alpha.</math>因此，若2是[[可逆元]]，例如对[[实数]]，可以除以2并将每个函数表为对称函数与反对称函数之和。

对称映射的对称化是它的两倍，[[交错多线性映射|交错映射]]的对称化是0；相似地，对称映射的反对称化是0，反对称映射的反对称化是它的两倍。

===双线性形式===
[[双线性映射]]的（反）对称化是双线性的，因此若2是可逆元，双线性形式是对称形式与斜对称形式之和，对称形式与二次型之间没有区别。
2时，并非所有形式都可分解为对称形式与斜对称形式。例如，[[整数]]上，相关的对称形式（[[有理数]]上）可能取半整数值，而在<math>\Z / 2\Z</math>上，当且仅当函数是对称的（<math>1 = - 1</math>），才是斜对称的。

这就引出了[[ε-二次型]]与ε-对称形式的概念。

===表示论===
用[[表示论]]的术语来说：
* 交换变量可得[[对称群]]在二元函数空间上的表示。
* 对称与反对称函数是对应于[[平凡表示]]与符号表示的[[子表示]]。
* 对称化与饭对称化将函数映射到子表示中。若除以2，就会产生[[射影]]映射。

由于2阶对称群等于2阶[[循环群]]（<math>\mathrm{S}_2 = \mathrm{C}_2</math>），这相当于2阶[[离散傅立叶变换]]。

==''n''元==
给定''n''元函数，可通过求所有变量的<math>n!</math>种排列所得值之和实现对称化<ref>Hazewinkel (1990), [{{Google books|plainurl=y|id=kwMdtnhtUMMC|page=344|text=symmetrized}} p. 344]</ref>，通过求所有变量的<math>n!/2</math>种[[偶排列]]所得值之和减去<math>n!/2</math>种[[奇排列]]所得值之和实现[[反对称化]]（<math>n \leq 1</math>时唯一的排列是偶的）。

当中，对称函数的对称化是原函数乘以<math>n!</math>。因此若<math>n!</math>可逆，如[[特征 (代数)|特征]]为0的[[域 (数学)|域]]上时，或<math>p > n</math>，则这些函数除以<math>n!</math>会产生射影。

就表示论而言，这些只产生与平凡表示和符号表示相对应的子表示，但对于<math>n > 2</math>还有其他表示。

==自助法==
给定''k''元函数，对变量的''k''元素[[子集]]求和，可得''n''元对称函数。统计学中，这被称作[[自助法]]，相关统计量称作[[U-统计量]]。

==另见==
* [[交错多线性映射]]
* [[反对称张量]]

== 注释 ==
{{reflist}}
{{reflist|group=note}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|last1=Hazewinkel|first1=Michiel|author-link1=Michiel Hazewinkel|title=Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia"|url=https://www.springer.com/mathematics/book/978-1-55608-005-0?cm_mmc=Google-_-Book%20Search-_-Springer-_-0|series=Encyclopaedia of Mathematics|volume=6|year=1990|publisher=Springer|isbn=978-1-55608-005-0}}

{{张量}}

[[Category:对称函数]]