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{{Translating|[[:en:Ring of symmetric functions]]||tpercent=30|time=2024-02-29T15:15:21+00:00}}

[[代数组合学]]中，'''对称函数环'''是''n''趋近于无穷大时，''n''元[[对称多项式]][[环 (数学)|环]]的特定极限。此环是一种通用结构，其中对称多项式间的关系可用一种与''n''无关的方式表达（但其元素不是多项式也不是函数）。此环也在[[对称群表示论]]中起着重要作用。

对称函数环可给出[[余积]]和[[双线性形式]]，使其成为正定自伴[[分次代数|分次]][[霍普夫代数]]，其是交换的也是余交换的。

== 对称多项式 ==
{{main|对称多项式}}
对称函数研究以对称多项式为基础。[[多项式环]]中，在变量的某有限集中，若变量的顺序不会影响多项式的值，则称多项式是对称的。更形式地说，在''n''元多项式环上有[[对称群]]<math>S_n</math>的[[环同态]][[群作用|作用]]，其中[[排列]]对多项式的作用是根据所用的置换，同时将变量替换成另一个。这作用的[[不变量#群作用下不变|不变量]]构成对称多项式[[子环]]。若变量是<math>X_1,\dots,\ X_n</math>，则这种对称多项式的例子是

: <math>X_1+X_2+\cdots+X_n, \, </math>
: <math>X_1^3+X_2^3+\cdots+X_n^3, \, </math>
:<math>X_1X_2\cdots X_n. \, </math>

稍微复杂一点，

<math>X_1^3X_2X_3+X_1X_2^3X_3+X_1X_2X_3^3+X_1^3X_2X_4+X_1X_2^3X_4+X_1X_2X_4^3+\dots</math>

其中求和包含某变量的立方与另两个变量之积（所有变量）。对称多项式有很多种，如[[基本对称多项式]]、[[次方和对称多项式]]、[[单项对称多项式]]、[[完备齐次对称多项式]]、[[舒尔多项式]]等等。
== 对称多项式环 ==
对称多项式之间的关系往往不取决于''n''，只是关系中的某些多项式可能需要足够大的''n''才能定义。例如，多项式立方和<math>p_3</math>的[[牛顿恒等式]]导致
:<math>p_3(X_1,\ldots,X_n)=e_1(X_1,\ldots,X_n)^3-3e_2(X_1,\ldots,X_n)e_1(X_1,\ldots,X_n)+3e_3(X_1,\ldots,X_n),</math>
其中<math>e_i</math>表示基本对称多项式。此式对所有[[自然数]]''n''都成立，唯一值得注意的是，<math>n<k</math>时，<math>e_k(X_1,\ \dots,\ X_n)=0</math>。可以将其表为方程
:<math>p_3=e_1^3-3e_2 e_1 + 3e_3</math>
其与''n''无关，且在对称函数环中成立。环中，对所有[[整数]]<math>k\ge 1</math>有非零元<math>e_k</math>，且环中任何元素都可用元素<math>e_k</math>的多项式表达式给出。

=== 定义 ===
'''对称多项式环'''可定义在任意[[交换环]]''R''上，可记作<math>\Lambda_R</math>。基本情形是<math>R=\Z</math>。环<math>\Lambda_R</math>实际上是[[分次环|分次]]''R''-代数，有两种主要构造，下面给出第一种，可见于(Stanley, 1999)，第二种可见于(Macdonald, 1979)。

==== 作为形式幂级数环 ====
最简单（仍有点繁琐）的构造始于''R''上的（[[可数无穷|可数]]）无穷多元形式幂级数环<math>R[[X_1,X_2,...]]</math>。此[[幂级数]]环的元素形式上是无穷级数，包含''R''中系数乘以[[单项式]]，后者是有限多变量的有限次幂之积。将<math>\Lambda_R</math>定义为由满足以下条件的幂级数''S''组成的子环：
#''S''在变量的任何排列下都不变；
#''S''中单项式[[多项式的次数|次数]]有界。
注意，由于第二个条件，此处幂级数只是为了允许无穷多一定次数的项，而非所有可能次数的项。允许这样做是必要的，比方说，包含项<math>X_1</math>的元素为维持对称性也应包含项<math>X_i\ (i>1)</math>。不同于整个幂级数环，子环<math>\Lambda_R</math>按单项式的总次数分次：由于条件2，<math>\Lambda_R</math>中的所有元素都是<math>\Lambda_R</math>中[[齐次多项式|齐次]]元素的有限和（其本身是等次项的无限和）。对所有<math>k\ge 0</math>，元素<math>e_k\in \Lambda_R</math>被定义为''k''个不同变量所有积的形式和，这显然是''k''次齐次的。
==另见==
* [[牛顿恒等式]]
* [[准对称函数]]

==参考文献==
{{Reflist}}

* Macdonald, I. G. ''Symmetric functions and Hall polynomials.'' Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. {{isbn|0-19-853530-9}} {{MathSciNet|id=553598}}
* Macdonald, I. G. ''Symmetric functions and Hall polynomials.'' Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp.&nbsp;{{isbn|0-19-853489-2}} {{MathSciNet|id=1354144}}
* [[Richard P. Stanley|Stanley, Richard P.]] ''Enumerative Combinatorics'', Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. {{isbn|0-521-56069-1}} (hardback) {{isbn|0-521-78987-7}} (paperback).

[[Category:多项式]]
[[Category:代数组合]]
[[Category:对称函数|*]]
[[Category:置换]]
[[Category:各类函数]]