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{{About|在变量的所有排列下不变的函数|向量空间元素上的对称函数|对称张量}}
[[数学]]中，若''n''元[[函数]]无论变量顺序如何，值都相同，就称之为'''对称'''函数。例如，二元函数<math>f\left(x_1,x_2\right)</math>，当且仅当<math>\forall x_1,\ x_2,\ \left(x_1,x_2\right),\ \left(x_2,x_1\right)\in {\rm dom}(f),\ f\left(x_1,x_2\right) = f\left(x_2,x_1\right)</math>，''f''是对称函数。最常见的对称函数类型是[[多项式函数]]，由[[对称多项式]]给出。
一个相关概念是[[交错多项式]]，其在变量互换后只有符号改变。除多项式函数外，作为多个向量的函数的[[对称张量|张量]]也可以是对称的，实际上[[向量空间]]''V''上的对称''k''-向量空间[[同构]]于''V''上的''k''次[[齐次多项式]]空间。对称函数同[[奇函数与偶函数]]是不同的概念。

== 对称化 ==
{{main|对称化}}
给定任意一个''n''元函数''f''，其在[[阿贝尔群]]中取值。可对参数的所有排列求和，构造得对称函数。同样，对[[偶置换]]求和、再减去[[奇置换]]的求和，就可构造出反对称函数。这些运算不可逆，而且很可能使得非平凡的''f''变为等于0的常数函数。若已知''f''的对称化与反对称化，则只能恢复二元的''f''，且阿贝尔群允许除以2（加倍的逆），这时''f''等于其对称化与反对称化之和的一半。

== 例子 ==

<ul>
<li>考虑实值函数
<math display=block>f(x_1,x_2,x_3) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).</math>
由定义，''n''元对称函数满足以下性质
<math display=block>f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = f(x_2,x_1,\ldots,x_n) = f(x_3,x_1,\ldots,x_n,x_{n-1}), \quad \text{ etc.}</math>
一般来说，变量的[[排列]]不影响函数值。本例中
<math display=block>(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = (x-x_2)(x-x_1)(x-x_3) = (x-x_3)(x-x_1)(x-x_2)</math>
以此类推，适用于<math>x_1, x_2, x_3</math>的所有排列。
</li>

<li>考虑函数
<math display=block>f(x,y) = x^2 + y^2 - r^2.</math>
若''x''、''y''互换，函数变为
<math display=block>f(y,x) = y^2 + x^2 - r^2,</math>
结果与原<math>f(x, y)</math>相同。
</li>

<li>再考虑函数
<math display=block>f(x,y) = ax^2+by^2-r^2.</math>
若''x''、''y''互换，函数变为
<math display=block>f(y,x) = ay^2 + bx^2 - r^2.</math>
若<math>a \neq b</math>，这样就和原函数不一样了，因此是非对称函数。
</li>
</ul>

== 应用 ==
=== U-统计量 ===
{{main|U-统计量}}
[[统计学]]中，对''k''-样本统计量进行[[自助法|自助]]的对称化，可得''n''元对称函数的''n''样本统计量，称作[[U-统计量]]。例子如[[样本均值]]和[[样本方差]]。

==另见==
* [[交错多项式]]
* [[对称多项式]]
* [[奇函数与偶函数]]
* [[对称随机变量]]
* [[准对称函数]]
* [[对称函数环]]
* [[对称化]]
* {{translink|en|Vandermonde polynomial|范德蒙多項式}}

==参考文献==
{{reflist}}
{{reflist|group=note}}

* [[F. N. David]], [[M. G. Kendall]] & D. E. Barton (1966) ''Symmetric Function and Allied Tables'', [[Cambridge University Press]].
* Joseph P. S. Kung, [[Gian-Carlo Rota]], & [[Catherine Yan|Catherine H. Yan]] (2009) ''[[Combinatorics: The Rota Way]]'', §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, {{isbn|978-0-521-73794-4}}.

{{张量}}

[[Category:组合数学]]