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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''对数积分'''<math>\operatorname{li}(x)</math>是一个[[特殊函数]]。它出现在[[物理学]]的问题中，在[[数论]]中也有重要性，主要出現在與[[質數定理]]與[[黎曼猜想]]的相關理論之中。
[[File:Logarithmic integral.svg|thumb|right|对数积分]]

==积分表示法==
对数积分有一个积分的表示法，对所有的正实数<math>x\ne 1</math>都有定义：

:<math>\operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)}</math>

在这里，ln表示[[自然对数]]。函数1/ln (''t'')在''t'' = 1处有一个[[奇点 (几何)|奇点]]，当''x'' > 1时，这个积分只能用[[柯西主值]]的概念来解释：

:<math>\operatorname{li}(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \right)</math>

== 特殊值與欧拉对数积分 ==
由於這個積分在x趨近於1時，值會趨近於負無窮大，有些數學家為了避免麻煩，常會選擇另外一個相似的定義，'''欧拉对数积分'''定义为：

:<math>\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)</math>

或

:<math>\operatorname{Li}(x) = \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln t}</math>

函数li(''x'')有一個正根，它出现在''x'' ≈ 1.45136 92348 ...。这个数称为[[Ramanujan-Soldner常数]]。

:<math>\operatorname{li}(2) = -(\Gamma\left(0,-\ln 2\right) + i\,\pi) \sim 1.04516 37801 17492 78484 45888 89194 613136 522615 578151</math>

其中<math>\Gamma\left(a,x\right)</math>是[[不完全伽玛函数]]。

==级数表示法==
函数li(''x'')与[[指数积分]]Ei(''x'')有以下的关系：

:<math>\hbox{li}(x)=\hbox{Ei}(\ln(x))</math>

其中<math>x > 1</math>。这个等式提供了li(''x'')的一个级数表示法：

:<math>\operatorname{li}(e^{u}) = \hbox{Ei}(u) =
\gamma + \ln u + \sum_{n=1}^{\infty} {u^{n}\over n \cdot n!}
\quad \text{for } u \ne 0</math>

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是[[欧拉-马歇罗尼常数]]。一个收敛得更快的级数，是：

:<math>
\operatorname{li}(x) = \gamma + \ln \ln x + \sqrt{x} \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} (\ln x)^n}{n! \; 2^{n-1}} \sum_{k = 0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1}
</math>

==渐近展开式==
当''x'' → ∞，函数有以下的渐进表现：

:<math>\operatorname{li}(x) = \mathcal{O} \left( {x\over \ln (x)} \right)</math>

其中<math>\mathcal{O}</math>是[[大O符号]]。完整的[[渐近展开式]]为：

:<math>\operatorname{li}(x) = \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k!}{(\ln x)^k}</math>

或

:<math>\frac{\operatorname{li}(x)}{x/\ln x} = 1 + \frac{1}{\ln x} + \frac{2}{(\ln x)^2} + \frac{6}{(\ln x)^3} + \cdots</math>

注意，作为渐近展开式，这个级数是[[发散级数|发散]]的：只有级数前面有限个项才是较好的估计。这个展开式可从[[指数积分]]的渐近展开式直接推出。

==数论中的重要性==
对数积分在[[数论]]中十分重要，出现在小于某个整数的[[素数]]个数的估计中。例如，[[質數定理]]表明：

:<math>\pi(x)\sim\operatorname{Li}(x)</math>

其中π(''x'')是小于或等于''x''的素数的个数。

==参见==
* [[指数积分]]
* [[三角积分]]

==参考文献==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''[[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.'' New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_228.htm (See Chapter 5)] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_228.htm |date=20080523020847 }}''

[[Category:特殊函数|L]]
[[Category:特殊超几何函数|L]]
[[Category:积分]]
[[Category:对数]]