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在[[数学]]上， '''对合矩阵'''是指逆为自身的[[矩阵]]，即，称矩阵<math>\mathbf{A}</math>是一个对合矩阵当且仅当<math>\mathbf{A}^2=\mathbf{I}</math>。对合矩阵是[[单位矩阵]]的[[方根]]。 <ref name="higham">{{citation|last=Higham|first=Nicholas J.|title=Functions of Matrices: Theory and Computation|url=https://books.google.com/books?id=2Wz_zVUEwPkC&pg=PA165|year=2008|authorlink=Nicholas Higham|pages=165–166|contribution=6.11 Involutory Matrices|location=Philadelphia, PA|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)|doi=10.1137/1.9780898717778|isbn=978-0-89871-646-7|mr=2396439|accessdate=2017-11-29|archive-date=2020-07-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20200715235640/https://books.google.com/books?id=2Wz_zVUEwPkC&pg=PA165|dead-url=no}}.</ref>

== 例 ==
如果<math>a^{2}+bc=1</math>，则2×2实矩阵 <math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix}</math>  是对合矩阵。<ref>Peter Lancaster & Miron Tismenetsky (1985) ''The Theory of Matrices'', 2nd edition, pp 12,13 [//en.wikipedia.org/wiki/Academic_Press Academic Press] {{ISBN|0-12-435560-9}}</ref>

三类[[初等矩阵|基本矩阵]]中有一种是对合矩阵，即''行交换的基本矩阵''。 在特殊情况下，另一类的基本矩阵，即表示对行或列乘以 &#x2212;1 的矩阵也是对合矩阵；实际上这是[[符号矩阵]]的一个特例——所有符号矩阵均是对合的。

下面是一些对合矩阵的简单例子。
: <math>
\begin{array}{cc}
\mathbf{I}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
; & 
\mathbf{I}^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\\
\\
\mathbf{R}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
; &
\mathbf{R}^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\\
\\
\mathbf{S}=\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
; &
\mathbf{S}^{-1}=\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\\
\end{array}
</math>
这里
: <math>\mathbf{I}</math> 是[[单位矩阵]] (显然对合);
: <math>\mathbf{R}</math> 是交换过一对行的单位矩阵；
: <math>\mathbf{S}</math> 是[[符号矩阵]]。
显然，任何由对称矩阵构成的[[分塊矩陣|块-对角阵]] 构成的矩阵也是对合矩阵。

== 对称性 ==
一个[[對稱矩陣|对称的]]对合矩阵也是一个[[正交矩阵]]，并因此表示一个[[等距同构|保距变换]] (保持[[欧几里得距离|欧几里德距离]]的线性变换)。反之，每个正交对合矩阵均是对称的。<ref>{{Citation|last=Govaerts|first=Willy J. F.|title=Numerical methods for bifurcations of dynamical equilibria|url=https://books.google.com/books?id=rqvYq19qwiwC&pg=PA292|year=2000|page=292|location=Philadelphia, PA|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)|doi=10.1137/1.9780898719543|isbn=0-89871-442-7|mr=1736704|accessdate=2017-11-29|archive-date=2020-08-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20200802053555/https://books.google.com/books?id=rqvYq19qwiwC&pg=PA292|dead-url=no}}; ; 
.</ref> 一个特别的例子是，每个反射矩阵均是对合的。

== 性质 ==
任何域上对合矩阵的[[行列式]]是±1.<ref name="bernstein">{{citation|last=Bernstein|first=Dennis S.|title=Matrix Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=-c0NxJg4vHMC&pg=PA230|year=2009|pages=230–231|contribution=3.15 Facts on Involutory Matrices|edition=2nd|location=Princeton, NJ|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-14039-1|mr=2513751|accessdate=2017-11-29|archive-date=2020-07-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20200714041253/https://books.google.com/books?id=-c0NxJg4vHMC&pg=PA230|dead-url=no}}.</ref>

如果 <math>\mathbf{A}</math> 是一'''个 ''n&#x20;×&#x20;n'' 矩阵，则A是对合的当且仅当½('''A'''&#x20;+&#x20;'''I''')是 [[Idempotent matrix|幂等]]的。 这一关系给出了对合矩阵和幂等矩阵之间的[[双射]]。

如果 <math>\mathbf{A}</math> 是<math>M(n,\mathbb{R})</math>（[[实数]]域上的矩阵代数）上的矩阵，则由 <math>\mathbf{A}</math> 产生的子代数 {''x'' '''I''' + ''y'' '''A''': ''x、y'' ∈ℝ} 与[[双曲复数]]同构。

如果 <math>\mathbf{A}</math>和 <math>\mathbf{B}</math> 两个对合矩阵可交换，则 <math>\mathbf{AB}</math> 也是对合的。

如果 <math>\mathbf{A}</math> 是对合矩阵则 A 的任意自然数次幂均是对合的。 事实上， <math>\mathbf{A}^n</math> 在 <math>n</math> 是奇数时等于 <math>\mathbf{A}</math>，在 <math>n</math> 是偶数时等于 <math>\mathbf{I}</math>。

== 另见 ==
* 仿射对合

== 参考文献 ==
{{reflist}}


[[Category:矩陣]]