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'''对偶锥和极锥（'''{{Lang-en|dual cone and polar cone}}）是[[凸分析]]中的两个概念。

== 对偶锥 ==
[[File:Dual_cone_illustration.svg|right|thumb|集合''C''和它的对偶锥''C{{sup|*}}'']]

=== 在向量空间内 ===
实数线性空间 ''X'' （例如欧几里得空间'''R'''<sup>''n''</sup>）中子集 ''C'' 的双锥''C{{sup|*}}''，与对偶空间 ''X*'' 成集合：

: <math>C^* = \left \{y\in X^*: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C  \right \},</math>

此中 <math>\langle y, x \rangle</math> 是 ''X'' 和 ''X*'' 的对偶组合，即 <math>\langle y, x\rangle = y(x)</math>

''C*'' 始终是凸锥，即使 ''C'' 既不是凸锥也不是锥。

=== 在拓扑空间内 ===
如果 ''X'' 是实数或复数上的拓扑向量空间，则其子集 ''C⊆X'' 的对偶锥是 ''X'' 上的以下连续线性泛函集合：

: <math>C^{\prime} := \left\{ f \in X^{\prime} : \operatorname{Re} \left( f (x) \right) \geq 0 \text{ for all } x \in C \right\}</math>,{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=215–222}}

这是集合 ''-C'' 的极锥{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=215–222}}，不管 ''C'' 是什么。<math>C^{\prime}</math> 都将是一个凸锥。如果 ''C''⊆{0}，则<math>C^{\prime} = X^{\prime}</math>。

== 极锥 ==
[[File:Polar_cone_illustration.svg|right|thumb|闭合凸锥C的极锥是闭合凸锥''C<sup>o</sup>''，反之亦然]]
对于X中的集合C，C的极锥是集合<ref name="Rockafellar">{{cite book|author=Rockafellar, R. Tyrrell|author-link=Rockafellar, R. Tyrrell|title=Convex Analysis|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|year=1997|orig-year=1970|isbn=978-0-691-01586-6|pages=121–122}}</ref>

: <math>C^o = \left \{y\in X^*: \langle y , x \rangle \leq 0 \quad \forall x\in C  \right \}.</math>

可以看出，极锥等于双锥的负值，即''C<sup>o</sup>''=−''C{{sup|*}}''。

对于X中的闭合凸锥C，极锥相当于C的极集（polar set）<ref>{{cite book|last1=Aliprantis|first1=C.D.|last2=Border|first2=K.C.|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|page=215}}</ref>。

== 参考资料 ==
[[分類:凸分析]]