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在[[數學]]裡，任何[[向量空間]]''V''都有其對應的對偶向量空間（或簡稱為對偶空間），由''V''的[[線性泛函]]組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構，像是向量加法及純量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在[[拓撲向量空間]]的情況下，由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。

'''对偶空間'''是 row vector （<math>1\times n</math>）與 column vector （<math>n\times 1</math>）的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為[[测度]],[[分布 (數學分析)|分佈]]及[[希爾伯特空間]]提供重要的觀點。'''对偶空間'''的應用是[[泛函分析]]理論的特徵。[[傅立叶變換]]亦內蘊对偶空間的概念。


== 代數对偶空间==

設<math>V</math>為 在[[体 (数学)|域]]<math>F</math>上的[[向量空間]]，定義其'''对偶空間'''<math>V^*</math>為由''<math>V</math>''到''<math>F</math>''的所有線性函數的集合。
即是''<math>V</math>''的標量線性變換。<math>V^*</math>本身是<math>F</math>的[[向量空間]]，並且對所有<math>V^*</math>中的<math>\phi</math>及<math>\varphi</math>、所有''<math>F</math>''中的<math>a</math>、所有''<math>V</math>''中的<math>x</math>滿足以下加法及標量乘法：

:<math> (\phi + \varphi )( x ) = \phi ( x ) + \varphi ( x ) \,</math>
:<math> ( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,</math> 

在[[張量]]的語言中，''<math>V</math>''的元素被稱為[[共變和反變|反變或逆變]]（contravariant）向量，而<math>V^*</math>的元素被稱為[[共變和反變|共變或協變]]（covariant）向量、「餘向量」或「同向量」（co-vectors），「线性型」或「1-形式」（one-form）。

===例子===

如果''<math>V</math>''是有限維的，<math>V^*</math>的維度和V的維度便相等；
如果<math>\left \{ e_1,...,e_n \right \}</math>是''<math>V</math>''的基，<math>V^*</math>便應該有相對基<math>\left \{ e^1,...,e^n \right \}</math>，記作：

:<math>
e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }i = j \\ 0, & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.
</math>

如果''<math>V</math>''是平面幾何向量的空間，<math>V^*</math>便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。

如果''<math>V</math>''是無限維度，<math>e^i</math>不能產生<math>V^*</math>的基；而<math>V^*</math>的維度比''<math>V</math>''的大。

例如空間<math>R^{(\omega)}</math>的元素是實數列，其擁有很多非零數字。<math>R^\omega</math>的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列<math>(a_n)</math>被用於元素<math>(x_n)</math>而產生<math>\sum_na_nx_n</math>。

=== 線性映射的轉置 ===

設<math>f:V\rightarrow W</math>是線性映射。
<math>f</math>的''轉置''<math>{}^t \! f:W^*\rightarrow V^*</math>定義為
:<div style="vertical-align: 20%;display:inline;"><math>
{}^t \! f (\varphi ) = \varphi \circ f \qquad \forall \varphi \in W^*</math></div>

對任何向量空間<math>V, W</math>，定義<math>L(V, W)</math>為所有從<math>V</math>到<math>W</math>的線性映射組成的向量空間。<math>f|\rightarrow {}^t \! f</math>產生從<math>L(V,W)</math>至<math>L(W^*,V^*)</math>的[[單射]]；這是個[[同構]][[若且唯若]]<math>W</math>是有限維的。

若  線性映射''f''表示作其對<math>V, W</math>的基之[[矩陣]]<math>A</math> ,則<math>{}^t \! f</math>表示作其對<math>V^*, W^*</math>的對偶基之[[轉置矩陣]]。
若<math>g:W\rightarrow X</math>是另一線性映射，則<math>{}^t \! \left( g\circ f \right) = {}^t \! f \circ {}^t \! g</math>。

在[[范畴論]]的語言裡，''為任何向量空間取對偶''及''為任何線性映射取轉置''都是[[向量空間]][[範疇 (數學)|范畴]]的[[逆變函子]]。

=== 雙線性乘積及对偶空間===

正如所見，如果<math>V</math>擁有有限維度，<math>V</math>跟<math>V^*</math>是同構的，但是该同構并不自然；它是依賴于我们开始所用的<math>V</math>的基。事實上，任意同構<math>\phi=\left ( V\rightarrow V^* \right )</math>在<math>V</math>上定義了一個唯一的非退化的雙線性型：

:<math> \langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w) \,</math> 

相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以产生由<math>V</math>映射到<math>V^*</math>的同構。

=== 到雙对偶空間内的單射===

存在一個由<math>V</math>到其雙对偶<math>V^{**}</math>的自然映射<math>\psi</math>，定義為

<math>\left ( \psi(v) \right )(\varphi)=\varphi(v)\forall v\in V,\varphi \in V^*</math>

<math>\psi</math>常是[[單射]]；当且仅当<math>V</math>的維數有限時，<math>\psi</math>是個同構。

== 連續對偶空間==

處理[[拓撲向量空間]]時，我们一般僅對該空間射到其基域的[[連續]]線性泛函感興趣。由此導致'''連續對偶空間'''之概念，此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間''<math>V</math>''之連續對偶記作''<math>V</math>''′。此脈絡下可逕稱連續對偶為''對偶''。

[[線性賦範向量空間]]''<math>V</math>''（如一[[巴拿赫空間]]或一[[希爾伯特空間]]）之連續對偶''<math>V</math>''產生一[[線性賦範向量空間]]。對一''<math>V</math>''上之連續線性泛函，其範數<math>\left \Vert \varphi \right \Vert</math>定義為

:<math>\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| : \|x\| \le 1 \}</math>

此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間，實為巴拿赫空間。

=== 例子===

對任意有限維之[[線性賦範向量空間]]或[[拓撲向量空間]]，正如[[歐幾里得空間]]，其連續與代數對偶不二。

令<math>1<p<\infty</math>為實數，並考慮所有序列<math>a=(a_n)</math>構成之巴拿赫空間[[Lp空間|''l''<sup> ''p''</sup>]]，使其範數
:<math>\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}</math>

有限。以<math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math>定義<math>q</math>，<math>I^p</math>其連續對偶遂自然等同於<math>I^q</math>：給定一元素<math>\varphi\in(I^p)</math>，<math>I^q</math>中相應元素為序列 <math>\left ( \varphi(e_n) \right )</math>，其中<math>e_n</math>謂第<math>n</math>項為1且餘項皆0之序列。反之，給定一元素<math>a=(a_n)\in I^q</math>，<math>I^p</math>上相應之連續線性泛函<math>\varphi</math>定為<math>\varphi(a)=\sum_na_nx_n</math>（對一切<math>a=(a_n)\in I^p</math>，見[[Hölder不等式]]）。

準此，<math>I^1</math>之連續對偶亦自然同構於<math>I^\infty</math>。再者，巴拿赫空間<math>c</math>（賦以上確界範數之全體收斂序列）及<math>c_0</math>（''<math>c</math>''中收斂至零者）之連續對偶皆自然同構於<math>I^1</math>。

===進一步的性質===

若''<math>V</math>''為[[希爾伯特空間]]，則其連續對偶亦然，並反同構於''<math>V</math>''；此即是[[里斯表示定理]]的陳述，同時也啟發了[[量子力學]]之數學描述時所用的[[狄拉克符号|狄拉克符號]]。

類似雙重代數對偶，對[[連續線性算子]]亦有連續單射<math>\psi:V\rightarrow V''</math>，此映射實為[[等距同構]]，即 <math>\left \Vert \psi(x) \right \Vert=\left \Vert x \right \Vert</math>對一切''<math>V</math>''中<math>x</math>皆真。使<math>\psi</math>為[[雙射]]之空間稱[[自反空间]]。

連續對偶賦''<math>V</math>''以一新拓撲，稱之為[[弱拓撲]]。

若''V''之對偶[[可分空間|可分]]，則''<math>V</math>''亦可分。反之則不然：考慮空間<math>I_1</math>，則其對偶<math>I\infty</math>不可分。

==引用==
*  {{cite book|author = [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki, Nicolas]] | title = Elements of mathematics, Algebra I| publisher = Springer-Verlag | year = 1989|isbn=3-540-64243-9}}
* {{cite book|author=[[Paul Halmos]]|title=Finite dimensional vector spaces|year=1974|publisher=Springer|isbn=0387900934}}
* {{cite book|author=[[Walter Rudin]]|title=Functional analysis|url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi|publisher=McGraw-Hill Science|year=1991|isbn=978-0070542365}}
{{泛函分析}}
{{线性代数的相关概念}}
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[[Category:泛函分析|D]]
[[Category:同调代数|D]]
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