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{{Expert needed|subject=數學|time=2021-11-18T15:28:16+00:00}}
'''对位证明法'''<ref>{{cite web |title=【学习笔记】离散数学（Discrete Math） - 证明 Proof 3 |url=https://blog.csdn.net/Kwzc4/article/details/104111234 |website=blog.csdn.net |accessdate=2021-11-18 |archive-date=2021-11-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211118133802/https://blog.csdn.net/Kwzc4/article/details/104111234 |dead-url=no }}</ref>（{{lang-en|proof by contrapositive}}，又或者{{lang|en|proof by negation}}），或称'''否定证明法'''、'''逆否命题法'''<ref>{{cite web |title=反證法與逆否命題法 |url=https://ccjou.wordpress.com/2016/03/18/%E5%8F%8D%E8%AD%89%E6%B3%95%E8%88%87%E9%80%86%E5%90%A6%E5%91%BD%E9%A1%8C%E6%B3%95/ |website=線代啟示錄 |accessdate=2021-11-18 |language=en |date=2016-03-17 |archive-date=2021-11-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211118133758/https://ccjou.wordpress.com/2016/03/18/%e5%8f%8d%e8%ad%89%e6%b3%95%e8%88%87%e9%80%86%e5%90%a6%e5%91%bd%e9%a1%8c%e6%b3%95/ |dead-url=no }}</ref>，是[[逻辑]][[數學]]的其中一個[[數學證明|證明]]方法。其与[[反证法]]相似，但是是不同的概念。根據[[邏輯]]，「<math>A\to B</math>」等於「<math>\neg B\to \neg A</math>」，即取其[[逆否命题]]。<ref>Mariotti, M. A. (2006). ''Proof and proving in mathematics education''. Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future, 173-204</ref>

需要注意，对位证明法与[[反证法]]不同。

== 定義 ==
给予给予初始[[实质条件]]命题“若P，则Q”：<math>A\to B</math>，对位证明法证明其[[逻辑等价]]的逆否命题“若非Q，则非P”：<math>\neg B\to \neg A</math>的真值。

逻辑上，对立证明法的可用性可以以比较逆否命题和原命题的[[真值表]]证明，即证明<math>A\to B</math>和<math>\neg B\to \neg A</math>的真值完全一样：
{| class="wikitable" align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center;"
|-
!''<math>A</math>''
!''<math>B</math>''
!''<math>\neg A</math>''
!''<math>\neg B</math>''
!''<math>A\to B</math>''
!''<math>\neg B\to \neg A</math>''
|- 
| T || T || F || F || T || T
|- 
| T || F || F || T || F || F
|- 
| F || T || T || F || T || T
|- 
| F || F || T || T || T || T
|}

=== 例子 ===
* 「我的妈妈是女人。」需要证明的逆否命题是「不是女人就不是我的妈妈。」
* 「若<math>x</math>是单数，则<math>x+1</math>是双数。」需要证明的逆否命题是「若<math>x+1</math>不是双数，则<math>x</math>不是单数。」

== 反證法与对立證明的分別 ==
[[反證法]]：假設 <math>\neg A</math> 正确，<math>\neg A\to B</math>，發現 <math>B</math> 不对，於是證明 <math>A</math> 正确。

否定證明：證明 <math>A\to B</math> 正确，於是转换證明 <math>\neg B\to \neg A</math> 正确。

== 證明例子 ==
證明「假設 <math>x^2</math> 是雙數，则<math>x</math> 都會是雙數。」

'''證明：'''

逆否命题：「假設 <math>x</math> 不是雙數，则 <math>x^2</math> 也不是雙數。」

換句話講，即係「假設 <math>x</math> 是單數，则 <math>x^2</math> 也是單數。」

因為 <math>x</math> 是單數，所以 <math>x=2k+1,k\in\Z</math> 的<math>k</math>是整数。

<math>x^2=(2k+1)^2=4k^2+2k+1=2(2k^2+k)+1</math>

因為 <math>2k^2+k</math>  是整数，所以 <math>x^2</math> 是單數。

== 集合論例子 ==
如果 <math>A,B,C,D</math> 都是'''[[集]]'''（{{lang|en|set}}），而他们符合 <math>C\backslash D\subset A\cap B</math> 和 <math>x\in C</math>。證明如果 <math>x\notin A</math>，则 <math>x\in D</math>。

'''證明'''：

如果用直接證明，會很麻烦。但是，如果利用对立證明，即假設 <math>x\notin D</math>则会简单得多。

因為 <math>x\in C</math>，而 <math>C\backslash D\subset A\cap B</math>，所以 <math>x\in A\cap B</math>。

这样 <math>x\in A</math> 一定成立。

== 更多例子 ==
以下命題都可以用对立證明证真：
* 假設 <math>x,y\in\N</math> 都是[[自然數]]。如果 <math>xy</math> 是[[單數]]，则 <math>x</math> 和 <math>y</math> 都是單數。
* 假設 <math>x,y\in\R</math> 都是[[實數]]。如果 <math>x+y</math> 是[[無理數]]，则 <math>x</math> 或者 <math>y</math> 是無理數。

== 参见 ==
* [[數學證明#直接證明|直接證明]]
* [[穷举法]]
* [[數學歸納法]]
* [[反證法]]
* [[歸謬法]]

== 參考 ==
{{reflist}}

[[Category:证明]]
[[Category:证明方法]]
[[Category:命题演算]]