查看“︁實閉域”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
在'''數學'''中，'''實閉域'''或'''實封閉域'''是一類[[有序域]]，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。

==定義==
===形式實域===
假設所論之域的特徵數皆為零。若在一個域<math>F</math>中，<math>-1</math>無法寫成平方和（表法：<math>-1 \neq \sum F^2</math>），則稱<math>F</math>是'''形式實'''的。

每個有序域都是形式實域；形式實的定義本身不涉及序結構，但藉由實閉包的存在性可證明每個形式實域皆帶序結構。

===實封閉域===
一個實封閉域<math>F</math>若滿足下列等價條件，則稱之'''實封閉域'''：

* <math>F</math>上存在一個序結構，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。
* <math>F</math>上存在一個序結構，使之滿足[[中間值定理]]。
* 對任意<math>a \in F</math>，或者<math>a \in F^2</math>或者<math>-a \in F^2</math>；且任何奇數次多項式都有根。
* <math>F</math>非代數封閉，而<math>F(\sqrt{-1})</math>代數封閉。
* 若<math>F' \supset F</math>，<math>F'</math>是形式實的，則<math>F'=F</math>。

我們可以純以代數性質定義實封閉域，並由<math>a > 0 \Leftrightarrow a \in F^2, a \neq 0</math>得到唯一的序結構。

==實閉包==
對任何形式實域<math>F</math>，都存在代數擴張<math>R \subset F</math>，使得<math>R</math>是實封閉的。我們稱<math>R</math>是<math>F</math>的一個實閉包。實閉包並不唯一。

若在<math>F</math>上固定一個序結構，並要求<math>R</math>的序結構與之相容；則此時實閉包<math>R</math>存在並唯一，且<math>\mathrm{Aut}(R/F) = \{\mathrm{id}_R\}</math>。

==例子==
* [[實數]]域<math>\mathbb{R}</math>
* <math>\mathbb{R} \cap \mathbb{Q}^\mathrm{alg}</math>；它是<math>\mathbb{Q}</math>的實閉包。
* [[可計算數]]
* [[Puiseux級數]]

==模型論觀點==
實封閉域的研究首先由數學家展開，隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言<math>\mathcal{L} := \langle +, -, \cdot, > \rangle</math>，設<math>\mathrm{RCF}</math>為實封閉域（帶序結構）的<math>\mathcal{L}</math>-[[一階邏輯|一階理論]]，[[塔斯基]]證明了<math>\mathrm{RCF}</math>上有[[量詞消去]]；因此任兩個<math>\mathrm{RCF}</math>的[[模型論|模型]]都是[[初等等價]]的。一方面，我們可運用<math>\mathbb{R}</math>上的特有工具（微積分、拓撲等等）證明一般實封閉域上的一階句子；另一方面，則可透過適當的域擴張解決<math>\mathbb{R}</math>上的問題，後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對[[希爾伯特第十七問題]]的證明。

如果改採形式語言<math>\mathcal{L}^- := \langle +, -, \cdot \rangle</math>，並取實封閉域的代數定義<math>\mathrm{RCF}^-</math>，此時則無法消去量詞（在<math>\mathrm{RCF}^-</math>中考慮公式<math>\exists y\; y=x^2</math>）。

設<math>R</math>是實封閉域，換言之<math>R \models_\mathcal{L} \mathrm{RCF}</math>，根據<math>\mathrm{RCF}</math>上的量詞消去，<math>R</math>上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的聯集。此性質稱作[[O-極小性]]，它較量詞消去為弱，卻是研究<math>R^n</math>上可定義集的幾何構造之關鍵。

量詞消去也蘊含<math>\mathrm{RCF}</math>的可判定性，然而塔斯基給出的[[演算法]]其[[計算複雜性理論|複雜度]]過高，並不實用。

若承認[[連續統假設|廣義連續統假設]]，則可進一步以[[超積]]描述實封閉域的性狀。

==文獻==
* Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: ''Model Theory'', North-Holland, 1989.
* H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: ''Super-Real Fields'', Clarendon Press, 1996.
* ''Computational Real Algebraic Geometry'', Bhubaneswar Mishra, ''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', CRC Press, 1997 ([http://www.cs.nyu.edu/mishra/PUBLICATIONS/97.real-alg.ps Postscript 版本] {{Wayback|url=http://www.cs.nyu.edu/mishra/PUBLICATIONS/97.real-alg.ps |date=20191030143515 }}); 亦見 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
* Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, ''Algorithms in real algebraic geometry'', Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 ([https://web.archive.org/web/20070314030807/http://perso.univ-rennes1.fr/marie-francoise.roy/bpr-posted1.html 在線版本])
* Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, ''Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition'', Springer, 1998, ISBN 3211827943

[[Category:域論|S]]
[[Category:抽象代數|S]]