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[[系统科学]]中，針對[[状态空间]]模型的'''實現'''是指針對給定輸入-輸出關係的系統表示法。給定一個輸入-輸出關係，其實現是[[時變系統|時變]][[矩阵]]的四元組 <math>A(t),B(t),C(t),D(t),</math> 使得
: <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)</math>
其中<math>(u(t),y(t))</math>為系統在時間<math>t</math>的輸入和輸出。

==線性時不變系統==
給定[[线性时不变系统理论]]，其[[传递函数]]為<math> H(s) </math>，其實現為使得<math> H(s) = C(sI-A)^{-1}B+D</math>成立的矩陣四元組<math> (A,B,C,D) </math>。
=== 正則實現 ===
任何一個[[真分傳遞函數]]都可以依以下的方式轉換為狀態空間表示方式（這個例子是四階的單一輸入單一輸出系統）：

給定傳遞函數，將分子分母的多項式展開，結果應該如下：
:<math> H(s) = \frac{n_{1}s^{3} + n_{2}s^{2} + n_{3}s + n_{4}}{s^{4} + d_{1}s^{3} + d_{2}s^{2} + d_{3}s + d_{4}}</math>.

上述係數可以用以下方式放進狀態空間模型中：
:<math>\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix}
                               -d_{1}& -d_{2}& -d_{3}& -d_{4}\\
                                1&      0&      0&      0\\
                                0&      1&      0&      0\\
                                0&      0&      1&      0
                             \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + 
                             \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}\textbf{u}(t)</math>

:<math> \textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} n_{1}& n_{2}& n_{3}& n_{4} \end{bmatrix}\textbf{x}(t)</math>.

此狀態空間實現稱為「可控制正則實現」（也稱為相變數正則實現），因為此模型保證其[[可控制性]]（因為控制中有一連串的積分器，有能力去控制每一個狀態。）

也可以用以下的方式將傳遞函數係數放進狀態空間模型，會得到另一種正則實現
:<math>\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix}
                               -d_{1}&   1&  0&  0\\
                               -d_{2}&   0&  1&  0\\
                               -d_{3}&   0&  0&  1\\
                               -d_{4}&   0&  0&  0
                             \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + 
                             \begin{bmatrix} n_{1}\\ n_{2}\\ n_{3}\\ n_{4} \end{bmatrix}\textbf{u}(t)</math>

:<math> \textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t)</math>.

此狀態空間實現稱為「可觀察正則實現」，因為此模型保證其[[可觀察性]]（因為輸出是由一連串積分器所組成，每一個狀態都會影響輸出）。

==一般系統==
=== ''D'' = 0===
若有輸入<math>u(t)</math>、輸出<math>y(t)</math>以及[[加權模式]] <math>T(t,\sigma)</math>，則實現可表示為使下式成立的矩陣三元組<math>[A(t),B(t),C(t)]</math>

:<math>T(t,\sigma) = C(t) \phi(t,\sigma) B(\sigma)</math>

其中
:<math>\phi</math>為對應此實現的[[狀態轉移矩陣]]<ref>{{cite book|first=Roger W.|last=Brockett|title=Finite Dimensional Linear Systems|url=https://archive.org/details/finitedimensiona0000broc|publisher=John Wiley & Sons|year=1970|isbn=978-0-471-10585-5}}</ref>。

==系統識別==
<!--{{main|System identification}}--->
[[系統識別]]的技術可以根據系統的實驗資料，分析出其實現。這類技術會同時使用輸入及輸出資料（例如{{link-en|特征系统实现算法|eigensystem realization algorithm}}），也有可能只使用輸出資料（例如{{link-en|頻域分解|frequency domain decomposition}}）。一般而言同時使用輸入及輸出資料的技術會有較精確的結果，不過不一定都可以找到輸入的資料。
== 相關條目 ==
{{Portal|數學}}
* [[灰箱模型]]
* [[概率模型]]
* [[系統識別]]
* [[最小實現]]

==參考資料==
{{Reflist}}
[[Category:计算模型]]
[[Category:系統理論]]