查看“︁實數線”︁的源代码

[[数学]]上，'''实数轴'''就是[[实数]]的集合 '''R'''。然而，这一术语通常在 '''R''' 被当作某种''空间''（诸如[[拓扑空间]]，[[向量空间]]）的时候使用。尽管至少早在[[古希腊]]时代，人们就开始研究实数线，但直到1872年，它才被严格地定义。而自始至终，它一直是在数学的许多分支中扮演重要角色的实例。

== 定义 ==

实数线具有一个标准[[拓扑结构|拓扑]]，它可以通过两种等价的方法引入。
* 第一，实数满足[[全序关系]]，它们具有[[序拓扑]]。
* 第二，实数能够通过[[绝对值]] <math>d(x,y) := |y - x|</math> 的度量转换到[[度量空间]]。这一度量给出 '''R''' 上等价于序拓扑的拓扑。

== 应用 ==
* 作为拓扑空间，实数线是个 [[1]] [[维]]的[[拓扑流形]]。
它既是[[可缩空间]]、[[局部紧致空间]]，也是[[仿紧致空间]]、[[第二可数空间]]。
它还具有标准可微结构，使它成为[[可微流形]]。
（由于[[可微同构]]，该拓扑空间只支持一个可微结构。）
事实上，'''R''' 是历史上研究这些数学结构的第一个实例，它启示了现代数学这些分支。
（实际上，上述这些术语中的其中一些在没有 '''R''' 的情况下甚至不能被定义。）

* 作为向量空间，实数线是实数[[体 (数学)|域]] '''R'''（即其自身）上的 1 维向量空间
它具有标准[[内积]]，使它成为[[欧几里得空间]]。
（这个内积就是普通的实数的[[乘法]]。）
作为向量空间，它并不引起注意。实际上是 2 维欧几里得空间首先被作为向量空间进行研究的。
然而，仍然可以说，由于向量空间首先是在 '''R''' 上进行研究的，它启示了[[线性代数]]。

* '''R''' 也是环，甚至是[[体 (数学)|域]]的主要实例。
实数完备域实际上是第一个被研究的域，所以它也启示了[[抽象代数]]。
然而，在纯代数文献中，'''R''' 几乎不被称为“线”。

更多信息，请参见[[实数]]。

== 相關條目 ==
* [[擴展實數線]]

==參考文獻==
{{refbegin}}
* {{cite book
 | first = James
 | last = Munkres
 | author-link = James Munkres
 | year = 1999
 | title = Topology
 | edition = 2nd
 | publisher = [[Prentice Hall]]
 | isbn = 0-13-181629-2
}}
* Walter Rudin, ''Real and Complex Analysis'', McGraw-Hill, 1966, ISBN 978-0-07-100276-9.
{{refend}}

{{實數}}
{{点集拓扑}}

[[Category:實數]]
[[Category:拓扑空间]]

[[es:Recta real]]