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{{NoteTA
|G1 = Math
}}

在[[數學]]裡，[[實數|'''實數系統''']]可以透過不同方式被定義。其中，基本方法通過一些公理將'''實數系統'''定為一個完備的有序數域。通過[[集合論|集合論公理]]，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是[[同構]]的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的，而多數的模型的建立都是借助於[[有理數|有理數域]]。

==基本方法==
一個'''實數系統'''由一個集合<math>R</math>，<math>R</math>當中的兩個不同元素 0 和 1 ，<math>R</math>上的兩種二元運算 <math> + , \times </math> （分別叫做''[[加法]]''與''[[乘法]]''），以及<math>R</math>上的一個二元關係<math> \leq </math>（即[[序關係]]）構成。
而且這個模型符合以下性質：
# <math>(R, +, \times)</math> 是一個[[域 (數學)|域]]。即
#* <math> \forall x , y , z \in R , x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , x \times ( y \times z ) = ( x \times y ) \times z </math>（加法與乘法的[[結合律|結合性]]）
#* <math> \forall x , y \in R , x + y = y + x , x \times y = y \times x </math>（加法與乘法的[[交換律|交換性]]）
#* <math> \forall x , y ,z \in R , x \times (y + z) = (x \times y) + (x \times z) </math>（乘法對加法有分配律）
#* <math> \forall x \in R , x + 0 = x</math>（存在加法[[單位元]]）
#* <math> \forall x \in R , x \times 1 = x</math>（存在乘法單位元）
#* <math> \forall x \in R , \exists -x \in R , x + (-x) = 0</math>（存在加法[[反元素|逆元]]）
#* <math> \forall x \in R , x \neq 0 \Rightarrow \exists x^{-1} \in R , x \times x^{-1} = 1</math>（存在乘法逆元）
# <math>( R , \leq )</math> 是一個[[全序關係|全序集]]。即
#* <math>\forall x \in R , x \leq x </math>([[自反關係|自反性]])
#* <math>\forall x , y \in R ,</math>若 <math> x \leq y </math> 且 <math> y \leq x </math>，則有<math>x = y</math>（[[反對稱關係|反對稱性]]）
#* <math>\forall x , y , z \in R,</math>若 <math>x \leq y </math>且,<math> y \leq z </math>，則有<math>x \leq z </math>（[[遞移關係|傳遞性]]）
#* <math> \forall x , y \in R , x \leq y</math> 或<math> y \leq x </math>（完全關係性）
# <math>R</math>上的兩個運算<math>+ , \times</math> 均與序關係<math> \leq </math>相容。即
#* <math>\forall x , y \in R </math>,若<math>x \leq y , </math>則<math>x + z \leq y + z</math>（加法下保持次序）
#* <math>\forall x , y \in R</math>,若 <math>0 \leq x</math> 且<math> 0 \leq y </math>，則<math> 0 \leq x \times y</math>（乘法下保持次序）
#  序關係<math> \leq </math>符合[[戴德金完備性]]: 若<math>R</math>的一個非空[[子集]]<math>A</math>有[[上界和下界|上界]]，那么<math>A</math>也有[[最小上界|上確界]]。換言之，
#* 若 <math>A</math> 是 <math>R</math>的一個非空子集，而且<math>A</math>有上界，那麼<math>A</math>有一上確界<math>u</math>，使得對<math>A</math>的任何上界<math>v</math>，均有 <math>u \leq v.</math>

[[有理數|有理數域]] <math>\mathbf{Q}</math>符合前三條公理，也就是說<math>\mathbf{Q}</math>是一個有序域（同時<math>\mathbf{Q}</math>還滿足[[阿基米德公理|阿基米德性]]，所以<math>\mathbf{Q}</math>是一個阿基米德有序域），但<math>\mathbf{Q}</math> 不符合最后一條公理。所以戴德金完備性這一點在實數的定義中是不可或缺的。戴德金完備性[[蘊含]]了[[阿基米德公理|阿基米德性質]]。若有兩個模型符合公理1-4的話，它們必然是同構的，所以在同構意義下只有一個戴德金完備的阿基米德有序域。

附注：當我們說符合以上公理的兩個模型： <math>(R, 0_R , 1_R , +_R , \times _R , \leq _R )</math> 和 <math>(S , 0_S , 1_S , +_S , \times _S , \leq _S)</math>是同構時，即是指存在一個保持運算和序的[[雙射]]。
確切地說存在<math>f : R \rightarrow S</math>滿足
* <math>f</math>是一個雙射
* <math>f(0_R) = 0_S</math> 及 <math>f(1_R) = 1_S</math>.
* <math> \forall x,y \in R , f(x +_R y) = f(x) +_S f(y)</math> 及 <math>f(x \times _R y ) = f(x) \times _S f(y).</math>
* <math> \forall x , y \in R , x \leq _R y</math> [[當且僅當]] <math>f(x) \leq _S f(y).</math>

===塔斯基实数公理===

另外一种公理化实数的方法由[[阿尔弗雷德·塔斯基]]提供，只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念：一个称之为实数集的[[集合 (数学)|集合]]（记作<math>\mathbb R</math>）、一个称之为序的[[二元关系]]（记作<math> < </math>）、一个称之为加法的[[二元运算]]（记作<math>+</math>）和常数<math>1</math>。

序相关公理 <math>(\mathbb R,<)</math>：
*'''公理一：'''如果<math>x<y</math>成立，那么<math>y<x</math>不成立，即“<math> < </math>”为[[非对称关系]]。
*'''公理二：'''如果<math>x<z</math>成立，那么存在<math>y</math>使得<math>x<y</math>与<math>y<z</math>同时成立，即“<math> < </math>”在实数集[[稠密]]。
*'''公理三：'''“<math> < </math>”满足[[戴德金分割|戴德金完备性]]，即对所有<math>X,Y\subset\mathbb R</math>，如果对所有<math>x\in X</math>以及<math>y\in Y</math>均满足<math>x<y</math>，那么存在<math>z</math>使得对所有<math>x\in X</math>以及<math>y\in Y</math>并且有<math>z\ne x</math>以及<math>z\ne y</math>，总有<math>x<z</math>与<math>z<y</math>成立。

加法相关公理 <math>(\mathbb R,<,+)</math>：
*'''公理四：'''<math>x+(y+z)=(x+z)+y</math>。
*'''公理五：'''对所有<math>x</math>与<math>y</math>，总存在<math>z</math>满足<math>x+z=y</math>。
*'''公理六：'''如果<math>x+y<z+w</math>成立，那么<math>x<z</math>或<math>y<w</math>成立。

常数<math>1</math>相关公理 <math>(\mathbb R,<,+,1)</math>
*'''公理七：'''<math>1\in\mathbb R</math>；
*'''公理八：'''<math>1<1+1</math>。

==模型的具體構造==
===柯西序列===
首先我們需要一個定義。設<math>(x_n)</math>是一個有理數列，如果对于任何正有理數<math>r > 0</math>，存在一个正[[整数]]<math>N</math>使得对于所有的整数<math>m , n > N </math>，都有<math>|x_m - x_n|< r </math>，則稱<math>(x_n)</math>為'''有理數的柯西序列'''。

有理數集<math>\mathbf{Q}</math>配備上[[度量]]<math>|x-y|</math>（即一般的绝对值）後便是一個[[度量空間]]。而透過一個叫作[[完備空間#完備化|完備化]]的過程，可以往度量空間加進新點，從而使得度量空間中的所有[[柯西序列]]都收斂到某點。

以下說明實數集<math>\mathbf{R}</math>可定義為<math>\mathbf{Q}</math>對於[[度量]]<math>|x-y|</math>的完備化。（關於<math>\mathbf{Q}</math>在其他度量下的完備化，參見[[p進數]]。）

記<math>R</math>為由有理數的柯西序列組成的集合。定義兩個柯西序列的加法和乘法為：
: <math>(x_n) + (y_n) = (x_n + y_n)</math>
: <math>(x_n) \times (y_n) = (x_n \times y_n).</math>
運算得到的序列依然會是柯西序列<ref name="#1">{{cite web|url=http://www.math.niu.edu/~jthunder/Courses/2013Summer/423/reals.pdf|title=The Real Numbers|access-date=2014-06-30|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304112508/http://www.math.niu.edu/~jthunder/Courses/2013Summer/423/reals.pdf|dead-url=no}}</ref>。


稱兩個柯西序列是等價的，如果它們之間的差收斂到0。這樣便在<math>R</math>上定義了一個[[等價關係]]。以<math>[(x_n)]</math>表示包含序列<math>(x_n)</math>的等價類。

設<math>\mathbf{R}</math>為包含所有[[等價類]]的集合，然後也在<math>\mathbf{R}</math>上定義加法和乘法：
: <math>[(x_n)] + [(y_n)] = [(x_n) + (y_n)]</math>
: <math>[(x_n)] \times [(y_n)]= [(x_n) \times (y_n)]</math>
同樣地，這兩個運算是良好定義的。


可以證明<math>(\mathbf{R},+,\times)</math>是一個域。我們可以把<math>\mathbf{Q}</math>[[嵌入 (數學)|嵌入]]到<math>\mathbf{R}</math>——只要把有理數<math>r</math>對應於<math>(r)</math>便可。

實數大小的比較也是透過在柯西序列上的定義而達成的：
稱一個實數是正的，即<math>[(x_n)] > [(0)]</math>，當且僅當存在自然數<math>N</math>和正有理數<math>r</math>，使得對一切<math>n > N </math>有 <math> x_n > r </math>。稱<math>[(x_n)] > [(y_n)],</math>當且僅當<math> [(x_n)] -  [(y_n)] > [(0)]</math>。

較難推導的是<math>\leq</math>的完備性，具體可以參考<ref name="#1"/>。

常用的小數記法可以自然地理解為柯西序列，比如說， <math>\pi = 3.1415926... </math>的記法意味著 <math>\pi</math> 是柯西序列 <math>(3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)</math>的等價類。等式<math>[(0.999...)] = [(1)] </math>則斷定了序列<math>(0,  0.9,  0.99,  0.999,...)</math> 和<math> (1, 1, 1, 1,...)</math>是等價的，即它們之間的差收斂到<math>0</math>。

把<math>\mathbf{R}</math>作為<math>\mathbf{Q}</math>的完備化有一個好處，那就是這種方法並不限於此例；對於其他度量空間也是適用的。

===戴德金分割===
{{main|戴德金分割}}
實數可定義為有理數集上的戴德金分割，即是有理數集的一個劃分<math>(A, B)\,</math>，其中<math>A, B</math>都非空，而且''A''的每個元素都小於''B''的任意元素。為方便起見，不妨把劃分<math>(A, B)\,</math>以其下組 <math>A</math>來代表，因為給定了 <math>A</math> 就唯一確定了 <math>B</math>。所以直觀上，實數<math>r</math>能被<math>\{ x\in \textbf{Q}:x<r\}</math>所代表。

具體而言，一個實數<math>r</math>是<math>\textbf{Q}</math> 的符合以下條件的一個子集：<ref name="pugh">{{cite book|title=Real Mathematical Analysis|first=Charles Chapman|last=Pugh|location=New York|publisher=Springer|year=2002|isbn=0-387-95297-7|pages=11–15|url=http://books.google.com/books?id=R_ZetzxFHVwC|access-date=2014-06-28|archive-date=2013-11-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20131114092543/http://books.google.com/books?id=R_ZetzxFHVwC|dead-url=no}}</ref>
# <math>r</math> 是非空集合
# <math>r \neq \textbf{Q}</math>
# <math>r</math> 是向下封閉的，即：<math>\forall x, y \in \textbf{Q} x < y, y \in r \rightarrow x \in r</math>
# <math>r</math> 沒有最大元。也就是說，不存在<math>x \in r</math>，使得對任何<math>y \in r</math>有<math>y \leq x</math>

* 記<math> \textbf{R} </math> 為所有實數的集合，也就是說它包含了所有<math> \textbf{Q} </math>上的戴德金分割。然后在<math> \textbf{R} </math>上定義這樣一個全序：<math>x \leq y\Leftrightarrow x \subseteq y</math>

* 有理數可以嵌入到<math> \textbf{R} </math>裡，透過把<math>q</math> 對應於集合<math>\{ x \in \textbf{Q} : x < q \}</math>。<ref name="pugh"/>  因為有理數在有理數集內是稠密的，所以這個集合沒有最大元，並滿足上述的各條件。

* 加法：<math>A + B := \{a + b: a \in A \land b \in B\}</math><ref name="pugh"/>

* 減法：<math>A - B := \{a - b: a \in A \land b \in ( \textbf{Q} \setminus B ) \}</math> ，其中<math> \textbf{Q} \setminus B </math> 代表<math>B</math>在<math>\textbf{Q}</math>裡的補集，即<math> \{ x : x \in \textbf{Q} \land x \notin B \} </math>

* [[負號]]是減法的特例： <math>-B := \{a - b: a < 0 \land b \in ( \textbf{Q} \setminus B ) \}</math>

* [[乘法]]的定義較不直觀：<ref name="pugh"/>
** 若<math>A, B \geq 0</math> ，那麼<math> A \times B := \{ a \times b : a \geq 0 \land a \in A \land b \geq 0 \land b \in B \} \cup \{ x \in \mathrm{Q} : x < 0 \}</math>
** 若<math>A\,</math> 和 <math>B\,</math> 中有一個是負的，可以透過<math> A \times B = -(A \times -B) = -(-A \times B) = (-A \times -B) \,</math>這定義式，把<math>A</math>, <math> B</math>轉化為正數的情況，再採用上面的定義來計算。

* 類似地定義[[除法]]為：
** 若<math> A \geq 0,\ B > 0 </math>，則<math> A / B := \{ a / b : a \in A \land b \in ( \textbf{Q} \setminus B ) \}</math>
** 若<math>A\,</math> 和 <math>B\,</math> 中有一個是負的，可以藉助 <math> A / B = -(A / {-B}) = -(-A / B)= -A / {-B} \, </math> 的定義式，把 <math>A </math>換成非負數，以及把<math>B\, </math>換成正數，再採用上面的定義來計算。

* [[上確界]]：如果<math>\textbf{R}</math>的非空子集<math>S</math> 有上界的話，那麼可以證明<math>\bigcup S</math>便是其上確界。<ref name="pugh"/>

以下示範如何以戴德金分割代表[[2的算術平方根|根號2]]：設<math>A = \{ x \in \textbf{Q} : x < 0 \lor x^2 < 2 \}</math>。<ref>
{{cite book|title=What is Mathematics, Really?|first=Reuben|last= Hersh|location=New York|publisher=Oxford University Press US|year=1997|isbn=0-19-513087-1|pages=274|url=http://books.google.com/books?id=R-qgdx2A5b0C}}</ref>

首先，對於任何自乘小於2的正有理數 <math>x\,</math>，都存在一個大於x的有理數<math>y\,</math> ，而且有<math>y \times y <2\,</math> 。選擇<math>y=\frac{2x+2}{x+2}\,</math> 便可。所以我們證明了<math>A</math> 是一個實數。
要證明<math>A \times A \le 2</math>成立，只需指出如果<math>r\,</math>是小於2的有理數，那麼存在正的 <math>x\in A</math> ，且 <math>r<x \times x\,</math>。

這種方法的好處是每個實數都對應於唯一的分割。

===小數記法===

[[西蒙·斯蒂文]]<ref>Karin Usadi Katz and [[Mikhail Katz|Mikhail G. Katz]] (2011) Stevin Numbers and Reality. [[Foundations of Science]]. {{doi|10.1007/s10699-011-9228-9}} Online First.  [http://www.springerlink.com/content/14365870k67308l6/]{{Dead link|date=2020年2月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> 首先提出了以小數來代表一切數（即現今的實數）的想法。具體地，可以將無限小數展開式作為實數的定義，然後規定像[[0.9999...]] 和1.0000... 這樣的兩種展開式是等價的，再形式化地定義好四則運算和大小次序。這種方法跟柯西序列和戴德金分割這兩種構造是等價的，而且它還給出了明確的{{Link-en|收斂模|Modulus of convergence}}。這種方法不限於十進制，其他的進位制也是適用的。

用小數來構造的好處是，這跟我們對於實數的基本印象相符<!--，而且suggests series expansions for functions-->。一個證明“完全有序域的所有模型都同構”的標準做法便是，說明任意模型都同構於這個模型，因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。

===超實數===
{{main|超實數 (非標準分析){{!}}超實數}}
首先，透過[[超濾子]]從有理數構造出超有理數域<sup>*</sup>'''Q''' 。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由<sup>*</sup>'''Q'''裡所有有界（或者說有限）元素所組成的環''B''。 ''B'' 有著唯一的[[極大理想]] ''I''，即無窮小量。商環 ''B/I'' 給出了實數域 <math>R</math>。 注意''B'' 並不是<sup>*</sup>'''Q'''的一個內在集合。
此外，這種構造在自然數集上使用了非主超濾子，而其存在性是依賴於選擇公理的。

這個極大理想 ''I''保持了<sup>*</sup>'''Q'''本身的次序。所以形成的域是一有序域。完備性的證明跟柯西序列一節中的論證類同。

===超現實數===
{{main|超現實數}}

每個有序域都可以嵌入到超現實數系統內。而實數組成了一個符合阿基米德性質的極大子域（意味著沒有實數是無窮大量）。這種嵌入方式並不是唯一的，儘管有標準的一種方式。

===透過整數集（歐多克索斯實數）===

一個較不為人知的構造方法只需用到整數的加法群<!--with different version-->。<ref>{{cite arXiv|eprint=math/0405454|title=The Eudoxus Real Numbers|author=R.D. Arthan}}</ref><ref>{{cite arXiv|eprint=math/0301015|author=[[Norbert A'Campo]]|title=A natural construction for the real numbers}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.maths.mq.edu.au/~street/reals.pdf|title=Update on the efficient reals|author=Ross Street|date=September 2003|accessdate=2010-10-23|archive-date=2011-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20110514085948/http://www.maths.mq.edu.au/~street/reals.pdf|dead-url=no}}</ref> 這種方法已由IsarMathLib project[[定理機器證明|正式驗證]]了。<ref>{{cite web|url=http://www.nongnu.org/isarmathlib/|title=IsarMathLib|access-date=2014-06-28|archive-date=2020-10-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20201001125759/https://www.nongnu.org/isarmathlib/|dead-url=no}}</ref>  Shenitzer<ref>Shenitzer, A. (1987) A topics course in mathematics. The Mathematical Intelligencer 9, no. 3, 44--52.</ref>和Arthan將此構造稱為[[歐多克索斯]]實數。

設<math>f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}</math>為一函數，若然<math>\{f(n+m)-f(m)-f(n): n,m\in\mathbb{Z}\}</math>是有限集，則稱''f''為'''殆同態'''。稱兩個殆同態<math>f,g</math> 是 '''幾乎相等'''的，如果集合<math>\{f(n)-g(n): n\in \mathbb{Z}\}</math>是有限集。如此便在殆同態上定義了一等價關係。實數被定義為各個等價類，可簡單記為[f]。實數的加法，對應於殆同態的加法運算；實數的乘法，則對應於殆同態的複合運算。最後，稱<math>0\leq [f]</math>，若<math>f</math> 是有界的，或者<math>f</math> 在<math>\mathbb{Z}^+</math>上無限多次取正值。這樣便在實數上建立了全序。

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===其他構造===
其他的一些構造方法可見<ref>{{cite journal | url=http://ac.els-cdn.com/138572587690055X/1-s2.0-138572587690055X-main.pdf?_tid=c5c3327c-fe11-11e3-a974-00000aacb360&acdnat=1403883983_ee0874caf1f29a8c8ee2541975ca2537 | title=Defining reals without the use of rationals | author=de Bruijn, N. G. | journal=In Indagationes Mathematicae (Proceedings) | year=1976 | volume=79 | issue=2 | pages=100-108 | doi=10.1016/1385-7258(76)90055-X}}</ref>
<ref>{{cite journal | title=Two concrete new constructions of the real numbers | author=Knopfmacher, Arnold; Knopfmacher, John. | journal=Rocky Mountain Journal of Mathematics | year=1988 | volume=18 | issue=4 | pages=813-824 | doi=10.1216/RMJ-1988-18-4-813}}</ref>。
-->
== 參見 ==
* [[數學結構主義#實分析中的例子]]

==參考資料==
{{reflist}}

{{實數}}
[[Category:實數]]