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在数学中，'''富比尼–施图迪度量'''（{{lang|en|Fubini–Study metric}}）是[[射影希尔伯特空间]]上一个[[凯勒度量]]。所谓射影希尔伯特空间即赋予了[[埃尔米特形式]]的[[复射影空间]] '''CP'''<sup>''n''</sup>。这个[[度量]]最先由[[圭多·富比尼]]与[[爱德华·施图迪]]在1904年与1905年描述。 

向量空间 '''C'''<sup>''n''+1</sup> 上一个埃尔米特形式定义了 GL(''n''+1,'''C''') 中一个[[酉群|酉]]子群 U(''n''+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(''n''+1) 作用下的不变性决定；从而是[[齐性空间|齐性]]的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量后，'''CP'''<sup>''n''</sup> 是一个[[对称空间]]。度量的特定正规化与[[N-球面|(2''n''+1)-球面]]上的标准度量有关。在[[代数几何]]中，利用一个正规化使 '''CP'''<sup>''n''</sup> 成为一个[[霍奇流形]]。

== 构造 ==
富比尼–施图迪度量自然出现于[[复射影空间]]的[[商空间]]构造。

具体地，可以定义 '''CP'''<sup>''n''</sup> 由 '''C'''<sup>''n''+1</sup> 中复直线组成的空间，即 '''C'''<sup>''n''+1</sup> 在将一点与其所有复数倍联系在一起的[[等价关系]]下的商。这与在乘法群 '''C'''<sup>*</sup> = '''C''' \ {0} 的对角[[群作用]]下的商相同：

:<math>\mathbf{CP}^n = \{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1} \} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.</math>

这个商将 '''C'''<sup>''n''+1</sup> 实现为底空间 '''CP'''<sup>''n''</sup> 上的复[[线丛]]（事实上这就是 '''CP'''<sup>''n''</sup> 上所谓的[[重言丛]]）。'''CP'''<sup>''n''</sup> 中的一点等同于 (''n''+1)-元组 [''Z''<sub>0</sub>,...,''Z''<sub>''n''</sub>] 模去非零复缩放的一个等价类；这些 ''Z''<sub>''i''</sub> 称为这个点的[[齐次坐标]]。

进一步，我们可以分两步实现这个商：因为乘以一个非零复数 ''z'' = ''R''&thinsp;''e''<sup>i&theta;</sup> 可以惟一地想成一个以模长 ''R'' 为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度 <math>\theta</math> 的复合，商 '''C'''<sup>''n''+1</sup>&rarr;'''CP'''<sup>''n''</sup> 分成两块。

:<math>\mathbf{C}^{n+1} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n</math>

其中第 (a) 步以正实数乘法群 '''R'''<sup>+</sup> 的缩放 '''Z''' ~ ''R'''''Z'''，这里 ''R'' &isin;'''R'''<sup>+</sup>，作商；步骤 (b) 是关于旋转 '''Z''' ~ ''e''<sup>i&theta;</sup>'''Z''' 的商。

第 (a) 步所得的商是由方程 |'''Z'''|<sup>2</sup> = |''Z''<sub>0</sub>|<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;|''Z''<sub>''n''</sub>|<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1 所定义的实超球面 ''S''<sup>2''n''+1</sup>。第 (b) 步的商实现为 '''CP'''<sup>''n''</sup>&nbsp;=&nbsp;''S''<sup>2''n''+1</sup>/''S''<sup>1</sup>，这里 ''S''<sup>1</sup> 表示旋转群。这个商由著名的[[霍普夫纤维化]]''S''<sup>1</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''S''<sup>2''n''+1</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''CP'''<sup>''n''</sup>实现 ，纤维属于 <math>S^{2n+1}</math> 中的[[大圆]]。

===作为度量商===

当取一个[[黎曼流形]]（或一般的[[度量空间]]）的商时，必须小心确认商空间赋有一个良定义的[[黎曼度量|度量]]。例如，如果群 ''G'' 作用在黎曼流形 (''X'',''g'')上，则为了是[[轨道空间]] ''X''/''G'' 拥有一个诱导度量，<math>g</math> 沿着 ''G''-轨道必须是常值，这便是说对任何元素 ''h'' &isin; ''G'' 以及一对向量场  <math>X,Y</math> 必须有 ''g''(''Xh'',''Yh'') = ''g''(''X'',''Y'')。

'''C''<sup>''n''+1</sup> 上标准[[埃尔米特度量]]在标准基下为
:<math>ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\overline{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\overline{Z_0} + \cdots + dZ_n \otimes d\overline{Z_n}.\,</math>
它的实化是 '''R'''<sup>2''n''</sup> 上标准[[欧几里得度量]]。这个度量在 '''C'''<sup>*</sup> 的作用下'''没有'''不变性，所以我们不能直接将其推下到商空间 '''CP'''<sup>n</sup> 中。但是，这个度量在旋转群 ''S''<sup>1</sup> = U(1) 的对角作用下是不变的。从而，上面构造中的步骤 (b) 是可能的只要完成步骤 (a)。 

'''富比尼–施图迪度量'''是在商'''CP'''<sup>''n''</sup> = ''S''<sup>2''n''+1</sup>/''S''<sup>1</sup> 上诱导的度量, 其中 <math>S^{2n+1}</math> 带着所谓的“圆度量”，是标准欧几里得度量在单位超球面上的限制。

===在局部仿射坐标中===

对应于 '''CP'''<sup>''n''</sup> 中具有齐次坐标(''Z''<sub>0</sub>,...,''Z''<sub>''n''</sub>) 的一点，只要 ''Z''<sub>0</sub> ≠ 0，存在惟一 ''n'' 个坐标集合 (''z''<sub>1</sub>,…,''z''<sub>''n''</sub>) 使得
:<math>[Z_0,\dots,Z_n] \sim [1,z_1,\dots,z_n],</math>
特别地 ''z''<sub>''j''</sub> = ''Z''<sub>''j''</sub>/''Z''<sub>0</sub>。这个 (''z''<sub>1</sub>,…,''z''<sub>''n''</sub>) 组成 '''CP'''<sup>''n''</sup> 在坐标片 ''U''<sub>0</sub> = {''Z''<sub>0</sub> ≠0 } 上的一个[[仿射坐标|仿射坐标系]]。在任意坐标片 ''U''<sub>''i''</sub>={''Z''<sub>''i''</sub>≠0} 上通过除以 ''Z''<sub>''i''</sub>，得到一个仿射坐标系。这 ''n''+1 个坐标片 ''U''<sub>''i''</sub> 盖住了 '''CP'''<sup>''n''</sup>，在 ''U''<sub>''i''</sub> 上可以利用仿射坐标系 (''z''<sub>1</sub>,…,''z''<sub>''n''</sub>) 给出度量的具体表达式。坐标导数定义了 '''CP'''<sup>''n''</sup> 全纯切丛的一个标架 <math>\{\partial_1,\ldots,\partial_n\}</math>，利用它们富比尼–施图迪度量具有埃尔米特分量
:<math>h_{ij} = h(\partial_i,\partial_j) = \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)\delta_{ij} - \bar{z}_i z_j}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}.</math>

这里|'''z'''|<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''z''<sub>1</sub><sup>2</sup>+...+''z''<sub>''n''</sub><sup>2</sup>。这样，富比尼–施图迪度量在这个标架下的[[埃尔米特矩阵]]是

:<math> \bigl(h_{ij}\bigr) = \frac{1}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2} \left[\begin{array}{cccc} 1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\ -\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2 \end{array} \right] </math>

注意每个矩阵元素是酉不变的：对角作用 <math>\mathbf{z} \mapsto e^{i\theta}\mathbf{z}</math> 不会改变这个矩阵。

对应地，[[线元素]]为
:<math>\begin{align}
ds^2 &= \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)|d\mathbf{z}|^2 - (\bar{\mathbf{z}}\cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z}\cdot d\bar{\mathbf{z}})}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}\\
&= \frac{(1+z_i\bar{z}^i)dz_jd\bar{z}^j - \bar{z}^j z_idz_jd\bar{z}^i}{(1+z_i\bar{z}^i)^2}.
\end{align}
</math>
在最后的表达式中，使用了[[爱因斯坦求和约定]]，拉丁字母指标 ''i'' 和 ''j'' 从 1 求到 ''n''。

===在齐次坐标中===

在齐次坐标 '''Z'''&nbsp;=&nbsp;[''Z''<sub>0</sub>,...,''Z''<sub>''n''</sub>] 中也有相应的表达式。形式上，我们有

:<math>\begin{align}
ds^2 &= \frac{|\mathbf{Z}|^2|d\mathbf{Z}|^2 - (\bar{\mathbf{Z}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d\bar{\mathbf{Z}})}{|\mathbf{Z}|^4}\\
&=\frac{Z_\alpha\bar{Z}^\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta - \bar{Z}^\alpha Z_\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta}{(Z_\alpha\bar{Z}^\alpha)^2}\\
&=2 \frac {Z_{[\alpha}dZ_{\beta]} \overline{Z}^{[\alpha}\overline{dZ}^{\beta]}}
{\left( Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \right)^2}.
\end{align}</math>

上面所涉及表达式需合适地理解。上面使用了求和约定，希腊字母指标从 0 求到 ''n''，最后一个等式使用了一个张量的反对称部分的标准记号：

:<math>Z_{[\alpha}W_{\beta]} = \frac {1}{2} \left( 
Z_{\alpha} W_{\beta} - Z_{\beta} W_{\alpha} \right).</math>

现在，d''s''<sup>2</sup> 的这个表达式显然在重言丛 '''C'''<sup>''n''+1</sup>\{0} 的全空间上定义了一个张量。通过沿着 '''CP'''<sup>''n''</sup> 上重言丛的一个全纯截面 &sigma; 拉回为 '''CP'''<sup>''n''</sup> 上一个张量。还需验证拉回值与界面的选取无关：这可以直接计算。

差一个整体正规化常数，这个度量的凯勒形式为

:<math>\omega = i\partial\overline{\partial}\log |\mathbf{Z}|^2.</math>

其拉回显然与全纯界面的选取无关。量 log|'''Z'''|<sup>2</sup> 是 '''CP'''<sup>''n''</sup> 的凯勒数量。

===''n'' = 1 情形 ===
当 ''n'' = 1，有由[[球极投影]]给出的微分同胚 <math>S^2\cong \mathbb{CP}^1</math>。这导致了特殊的霍普夫纤维化 ''S''<sup>1</sup>&rarr;''S''<sup>3</sup>&rarr;''S''<sup>2</sup>。当在 '''CP'''<sup>1</sup> 中的坐标系写出富比尼–施图迪度量，它在实切丛上的限制得出 ''S''<sup>2</sup> 上半径 1/2 的通常圆度量。

具体地，如果 ''z'' = ''x'' + i''y'' 是[[黎曼球面]] '''CP'''<sup>1</sup> 上标准仿射坐标卡，且''x''=''r''cos&theta;, ''y'' = ''r''sin&theta; 是 '''C''' 上的极坐标，则一个简单的计算表明

:<math>ds^2= \frac{dz \; d\overline{z}}{\left(1+|z|^2\right)^2}
= \frac{dx^2+dy^2}{ \left(1+r^2\right)^2 }
= \frac{1}{4}(d\phi^2 + \sin^2 \phi \,d\theta^2)
= \frac{1}{4} ds^2_{us}
</math>

这里 <math>ds^2_{us}</math> 是单位 2-球面上的圆度量。其中 &phi;, &theta; 是由球极投影 ''r''&thinsp;tan(&phi;/2)&nbsp;=&nbsp;1, tan&theta;&nbsp;=&nbsp;''y''/''x'' 给出的 ''S''<sup>2</sup> “数学家的”[[球坐标]]（许多物理学家偏向于将 &phi; 和 &theta;互换）。

==曲率性质==
在 ''n'' = 1 的特例，富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的[[数量曲率]]，因为它与 2-球面的圆度量等价（半径 ''R'' 球面的数量曲率是 <math>1/R^2</math>）。但是，对 ''n'' > 1，富比尼–施图迪度量没有常曲率。其[[截面曲率]]由下列方程给出<ref>Sakai, T. ''Riemannian Geometry'', Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.</ref>

:<math>K(\sigma) = 1 + 3\langle JX,Y \rangle^2</math>

这里 <math>\{X,Y\} \in T_p \mathbf{CP}^n</math> 是 2-维平面 &sigma; 的一个[[标准正交基]]，''J''&nbsp;:&nbsp;''T'''''CP'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''T'''''CP'''<sup>''n''</sup> 是 '''CP'''<sup>''n''</sup> 上的[[复结构]]，而 <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> 是富比尼–施图迪度量。

这个公式的一个推论是任何 2-维平面 <math>\sigma</math> 的截面曲率满足 <math>1 \leq K(\sigma) \leq 4</math>。最大的截面曲率 (4) 在一个[[全纯]] 2-维平面得到——对这样的平面有 ''J''(&sigma;) &sub; &sigma; ——而最小截面曲率 (1) 在 ''J''(&sigma;) 垂直于 &sigma; 的2-维平面 &sigma; 得到。因此，富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。

这使 '''CP'''<sup>''n''</sup> 成为一个（非严格的）{{Internal link helper/en|四分之一拼挤流形|Sphere theorem}}；一个著名的定理指出严格四分之一拼挤[[单连通]] ''n''-流形一定同胚于球面。

富比尼–施图迪度量也是一个[[爱因斯坦度量]]，它与[[里奇张量]]成比例：存在一个常数 &lambda; 使得对所有 ''i'',''j'' 我们有

:<math>Ric_{ij} = \lambda g_{ij}.</math>

除此以外，这蕴含着，在差一个数量相乘的意义下，富比尼–施图迪度量在[[里奇流]]下不变。这也使 
'''CP'''<sup>''n''</sup> 与[[广义相对论]]不可分离，它是真空[[爱因斯坦方程]]的一个非平凡解。

== 量子力学 ==

富比尼–施图迪度量可以用[[量子力学]]中广泛使用的[[狄拉克符号]]，或[[代数几何]]中的[[射影簇]]记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来，令

:<math>\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]</math>

这里 <math>\{\vert e_k \rangle\}</math> 是[[希尔伯特空间]]的一个[[正交规范性|正交规范]][[基向量]]集合，<math>Z_k</math> 是复数，而 <math>Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]</math> 是射影空间 <math>\mathbb{C}P^n</math> 中一点在[[齐次坐标]]中的标准记号。那么，给定空间中两点 <math>\vert \psi \rangle = Z_\alpha</math> 与 <math>\vert \phi \rangle = W_\alpha</math>，它们之间的距离是

:<math>\gamma (\psi, \phi) = \arccos 
\sqrt \frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;
 \langle \phi \vert \psi \rangle }
{\langle \psi \vert \psi \rangle \;
\langle \phi \vert \phi \rangle}
</math>
或等价地，在射影簇记号中，

:<math>\gamma (\psi, \phi) =\gamma (Z,W) =  
\arccos \sqrt {\frac 
{Z_\alpha \overline{W}^\alpha \; W_\beta \overline{Z}^\beta}
{Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \; W_\beta \overline{W}^\beta}}.
</math>

这里 <math>\overline{Z}^\alpha</math> 是 <math>Z_\alpha</math> 的[[复共轭]]。分母中出现的 <math>\langle \psi \vert \psi \rangle</math> 提醒了 <math>\vert \psi \rangle</math> 以及类似的 <math>\vert \phi \rangle</math> 不是单位长规范化的；故这里明确地做了一个规范化。在希尔伯特空间中，此度量可相当平凡地理解为两个向量之间的角度；故它又称为'''量子角'''（{{lang|en|quantum angle}}）。这个角度是实值的，取值于零到 <math>\pi/2</math>。

通过取 <math>\phi =  \psi+\delta\psi</math>，或等价地 <math>W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha</math>，马上可以等到这个度量的无穷小形式

:<math>ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle}
{\langle \psi \vert \psi \rangle} - 
\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \; 
\langle \psi \vert \delta \psi \rangle}
{{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.
</math>

在[[量子力学]]中，'''CP'''<sup>1</sup> 叫做[[布洛赫球面]]；富比尼–施图迪度量是量子力学几何化的自然[[度量]]。量子力学的许多独特的行为，包括[[量子纠缠]]和[[贝里相位]]（{{le|Berry phase}}）效应，可以归于富比尼–施图迪度量的特性。

== 乘积度量 ==
通常的可分性概念适用于富比尼–施图迪度量。更准确地讲，此度量在射影空间的自然乘积{{Internal link helper/en|塞格雷嵌入|Segre embedding}}中是可分的。这是说如果 <math>\vert\psi\rangle</math> 是一个[[可分态]]，从而可以写成 <math>\vert\psi\rangle=\vert\psi_A\rangle\otimes\vert\psi_B\rangle</math>，则度量是子空间上度量之和：

:<math>ds^2 = {ds_A}^2+{ds_B}^2</math>

这里 <math>{ds_A}^2</math> 和 <math>{ds_B}^2</math> 是在子空间 ''A'' 与 ''B'' 上各自的度量。

==相关条目==
*[[非线性σ模型]]
* [[卡鲁扎-克莱因理论]]

==参考文献==

{{reflist}}
*{{Citation | last1=Besse | first1=Arthur L. | title=Einstein manifolds | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10 | isbn=978-3-540-15279-8 | year=1987 | pages=xii+510}}
* {{citation | first1=D.C.|last1=Brody |first2=L.P.|last2=Hughston | title=Geometric Quantum Mechanics| journal=Journal of Geometry and Physics | year=2001 | volume=38 | pages=19–53 | doi=10.1016/S0393-0440(00)00052-8 }}
* {{citation | first1=P. |last1=Griffiths | authorlink1=Phillip Griffiths | first2=J.|last2=Harris| authorlink2=Joe Harris (mathematician)|title=Principles of Algebraic Geometry | series=Wiley Classics Library | publisher=Wiley Interscience | year=1994 | isbn=0-471-05059-8 | pages=30–31 }}
* {{springer|id=F/f041860|title=Fubini–Study metric|first=A.L.|last=Onishchik|year=2001}}.

[[Category:射影几何]]
[[Category:复流形]]
[[Category:辛几何]]
[[Category:流形上的结构]]
[[Category:量子力学]]