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'''密度矩陣重整化群''' (Density Matrix Renormalization Group)，簡稱[[:en:DMRG|DMRG]]，是一種數值[[演算法]]，於西元1992年由美國[[物理學家]][[:en:Steven R. White|史提芬·懷特]]提出<ref>Steven. R. White, Density matrix formulation for quantum renormalization groups, 出自《Physical Review Letters》1992年，第69卷：2863-2866頁。</ref>。
密度矩陣重整化群是用來計算量子多體系統（例如：[[赫巴德模型|Hubbard model]]、[[t-J模型]]、[[海森堡模型]]，等等）的一個非常精準的數值[[演算法]]，在一維或準一維的系統可以得到系統尺寸很大且很準確的計算結果，但是在二維的量子多體系統中卻很難達到所需要的精確度。目前此演算法仍無法計算三維的量子系統。

== DMRG 的起源 ==

從數值計算的角度來看，量子多體物理主要的困難之處就在於系統的[[希爾伯特空間]]維度隨著系統的尺寸呈指數成長，例如，一個由<math>N</math>個[[自旋1/2]]的粒子所組成的一維晶格系統其[[希爾伯特空間]]維度大小為 <math>2^N</math>。 傳統的解決方法有兩種：
# 基於[[精確對角化法|Lanczos算法]]的[[精確對角化法]]，只求出系統的低能狀態。這種方法只能處理很小的系統。
# 基於[[數值重整化群]]（Numerical Renormalization Group，簡稱NRG）的重整化方法，可以計算很大的系統。重整化的一般思想是：減少系統的自由度，並在這個縮減的空間中，通過特定的重整化技巧，在迭代過程中保持系統的自由度數不變，並使約化系統最終收斂到真正系統的低能態中。然而，NRG一般只適用在雜質系統中，當演算一般的格點系統，如[[赫巴德模型]]（Hubbard model）時，往往出現很大的誤差。
[[:en:Steven R. White|史提芬·懷特]]最先意識到，NRG在演算Hubbard模型中的失敗，是由於在NRG的迭代過程中忽略了環境對系統的影響。換句話說，NRG的重整化方法——只保留低能量本征態——並不能正確得出下一次迭代時的低能狀態。<br />
DMRG的重整化方法不同於NRG。DMRG在重整化前，把整個系統視為兩個部分，一部份為'''系統'''，一部份為'''環境'''，而'''系統'''和'''環境'''的整體稱為'''超塊'''。接著，計算'''超塊'''的基態，有了基態之後便計算'''約化密度矩陣'''，然後[[對角化]]這個'''約化密度矩陣'''，選出擁有較大的本征值的本征態。這些擁有較大的本征值的本征態正是基態性質最重要的態，然後根據此標準對'''系統'''部份做重整化。

== 實行DMRG的技巧 ==

實際實行DMRG是一個很冗長的工作，一些主要常用的計算手段如下：
*為了得到'''超塊'''的[[基態]]，通常利用[[精確對角化法|Lanczos 演算法]]或[[Jacobi-Davidson 演算法]]來[[對角化]]'''超塊'''的[[哈密頓算符]]。

*一般的情況下，[[精確對角化法|Lanczos 演算法]]需要一個初始的隨機[[向量]]。通過若干次迭代後，該[[向量]]收斂到[[基態]]。這說明算法的計算速度跟[[向量]]迭代到[[基態]]的次數有關。顯然，如果能找出一個跟[[基態]]非常接近的[[向量]]做初始的隨機[[向量]]，[[精確對角化法|Lanczos 演算法]]的效率必然大大提高。[[:en:Steven R. White|史提芬·懷特]]在西元1996年提出：透過'''波函數轉換'''可將目前這次計算得到的[[基態]]，作為下一次[[精確對角化法|Lanczos 演算法]]的初始[[向量]]。<ref>Steven. R. White, Spin Gaps in a Frustrated Heisenberg Model for CaV<sub>4</sub>O<sub>9</sub>, 出自《Physical Review Letters》1996年，第77卷：3633-3636頁。</ref>如此一來便加速[[對角化]]'''超塊'''的[[哈密頓算符]]所花的時間。
*[[精確對角化法|Lanczos 演算法]]中需要做被[[對角化]]矩陣和[[向量]]的乘積計算。該被[[對角化]]的矩陣往往非常大，直接列出該矩陣和做矩陣向量乘積會嚴重降低[[精確對角化法|Lanczos 演算法]]效率。當該被[[對角化]]矩陣可以拆分為幾個小矩陣的[[直積]]之和時（DMRG所計算的格點系統往往有這種性質），可以無需直接寫出該矩陣而完成整個[[精確對角化法|Lanczos 演算法]]。<ref>U. Schollwöck, The density-matrix renormalization group, 出自《Reviews of Modern Physics》2005年，第77卷：259-315頁。</ref>
*在有[[對稱性 (物理學)|對稱性]]的系統中有一些守恆的[[量子數]]，例如[[海森堡模型]]中的總[[自旋]]及其<math>z</math>軸份量。若是已知[[基態]]的[[量子數]]則可針對系統的[[希爾伯特空間]]特定的[[量子數]]的子空間進行[[對角化]]。
如缺少上述的一些計算手段，DMRG可能難以完成對實際物理模型的演算。

== 應用 ==

DMRG 已經成功的在許多不同的一維模型上計算低能態的一些性質，如易辛模型，海森保模型等自旋模型，[[費米子]]系統如 [[赫巴德模型|Hubbard 模型]] ，雜質系統如[[近藤效應]]，[[玻色子]]系統，混合[[玻色子]]與[[費米子]]的系統。隨著現代電腦硬體技術的進步，DMRG應用在二維系統上可行性愈來愈高，目前一般的作法是將二維系統視為一個'''多腿的梯子'''，再將梯子的長度拉長。2011年發表在《Science》封面的一篇文章中<ref>Simeng Yan, David A. Huse, and Steven R. White, Spin-Liquid Ground State of the S = 1/2 Kagome Heisenberg Antiferromagnet, 出自《Science》2011年，第332卷：1173。</ref>，利用 DMRG 探討二維Kagome晶格中的[[自旋-1/2]]系統的基態。由這篇文章來看， DMRG 可能仍是對付二維系統最強大的武器。

== 矩陣積態（Matrix Product State）==
DMRG之所以在一維系統中如此成功，背後的理論可以用矩陣積態來加以解釋。有限尺度的DMRG中，掃蕩的過程等同於將此系統的波函數寫在矩陣積態空間做[[變分法]]。以[[自旋-1/2]]的系統為例，矩陣積態如以下形式：

<math>|\Phi\rangle = \sum_{\sigma_1\cdots \sigma_N} (A_1^{[\sigma_1]} A_2^{[\sigma_2]} \cdots A_n^{[\sigma_n]} \cdots A_{N-1}^{[\sigma_{N-1}]} A_N^{[\sigma_N]} ) | \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_N\rangle</math>

其中<math>\sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_N</math>表示每一個格點上自旋<math>z</math>方向的分量，<math>A_i^{[\sigma_i]}</math>表示第<math>i</math>格點、自旋<math>z</math>方向的分量為<math>\sigma_i</math>的矩陣。<math>A_1^{[\sigma_1]}</math>矩陣大小是1×d、<math>A_2^{[\sigma_2]}</math>矩陣大小是d×d<sup>2</sup>、<math>A_3^{[\sigma_3]}</math>矩陣大小是d<sup>2</sup>×d<sup>3</sup>、……直到第<math>n</math>格點時，d<sup>n</sup>≥m，<math>A_n^{[\sigma_n]}</math>矩陣大小是d<sup>n-1</sup>×m、<math>A_{n+1}^{[\sigma_{n+1}]}</math>矩陣大小是m×m、……，<math>A_{N-1}^{[\sigma_{N-1}]}</math>矩陣大小是d<sup>2</sup>×d、<math>A_{N}^{[\sigma_{N}]}</math>矩陣大小是d×1。當m趨近無窮大時，所有的波函數皆可寫成矩陣積態的形式。<ref>Stefan Rommer 與 Stellan Östlund, 出自《Physical Review B》1997年，第55卷：第2164頁。</ref>

== DMRG 的擴充 ==

DMRG的巨大成功帶給人們許多衝擊與啟示，可惜的是由於[[波函數]]被表示成'''矩陣積態'''（Matrix Product State），造成DMRG在處理二維量子晶格系統時特別困難，更別說是三維的量子系統。繼承DMRG的知識和技術，許多物理學家著手發展適合研究二維甚至三維系統中的數值方法，例如：[[:en:TEBD|TEBD]]（Time-evolving block decimation）、PEPS（Projected Entangled Pair States）、MERA（multi-scale entanglement renormalization ansatz），等等。另一方面，也有許多物理學家在原有的DMRG方法上加以改良，讓科學家可以處理更多有趣的一維量子晶格系統的問題，例如：時間演化、有限溫度，等等。

== 其他 ==

*[[強關聯|強關聯系統]]中常見的數值方法還有：[[量子蒙特卡羅法]]([[:en:Quantum Monte Carlo|Quantum Monte Carlo]])、[[精確對角化法]](Exact Diagonalization)。

*一個密度矩陣重整化群的實例：[[:en:Dmrg of Heisenberg model|海森堡模型的DMRG]]

==參考文獻==
{{reflist}}

[[Category:理論物理]]
[[Category:統計力學]]
[[Category:計算物理學]]