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{{noteTA
|G1=物理學
|G2=Communication
}}
{{量子力学}}
[[FILE:vertical_polarization.svg|right|thumb|200px|從[[白熾燈]]（1）發射出的光子處於完全隨機偏振混合態（2），密度矩陣為<BR/><center><math>\begin{bmatrix}
 0.5 & 0  \\
 0 & 0.5  \\
\end{bmatrix}
</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span></center><BR/>通過[[偏振镜|垂直平面偏振器]]（3）之後，光子處於垂直偏振純態（4），密度矩陣為<BR/><center><math>\begin{bmatrix}
 1 & 0  \\
 0 & 0  \\
\end{bmatrix}
</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span></center>]]
在[[量子力學]]裏，'''密度算符'''（{{lang-en|'''density operator'''}}）與其對應的'''密度矩陣'''（{{lang-en|'''density matrix'''}}）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用[[態向量]] <math>| \psi\rangle</math> 來描述的[[量子態]]，混合態則是由幾種純態依照[[機率|統計機率]]組成的量子態。假設一個量子系統處於純態 <math>| \psi_1 \rangle</math> 、<math>| \psi_2 \rangle</math> 、<math>| \psi_3 \rangle</math> 、……的機率分別為 <math>w_1</math> 、<math>w_2</math> 、<math>w_3</math> 、……，則這混合態量子系統的密度算符 <math>\rho</math> 為
:<math> {\rho} = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |</math> 。

注意到所有機率的總和為1：
:<math>\sum_i w_i =1</math> 。

假設 <math>\{|b_i\rang,\quad i=1,2,3,\dots,n\}</math> 是一組[[規範正交基]]，則對應於密度算符的密度矩陣 <math>\varrho</math> ，其每一個元素 <math>\varrho_{ij}</math> 為
:<math>\varrho_{ij}=\lang b_i|\rho| b_j\rang= \sum_k w_k\lang b_i | \psi_k \rangle \langle \psi_k |b_j\rang </math> 。

對於這量子系統，[[可觀察量]] <math>A</math> 的[[期望值]]為
: <math> \langle A \rangle   = \sum_i w_i \langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle = \sum_i \langle b_i | {\rho}{A} | b_i \rangle = \operatorname{tr}({\rho}{A})</math> ，

是可觀察量 <math>A</math> 對於每一個純態的期望值 <math>\langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle</math> 乘以其[[加權平均數|權值]] <math>w_i</math> 後的總和。

混合態量子系統出現的案例包括，處於[[熱力學平衡]]或[[化學平衡]]的系統、製備歷史不確定或[[隨機]]變化的系統（因此不知道到底系統處於哪個純態）。假設量子系統處於由幾個[[量子糾纏|糾纏]]在一起的子系統所組成的純態，則雖然整個系統處於純態，每一個子系統仍舊可能處於混合態。在[[量子退相干]]理論裏，密度算符是重要理論工具。

密度算符是一種[[線性算符]]，是[[自伴算符]]、[[非負算符]]（{{lang-en|nonnegative operator}}）、[[跡數]]為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由[[約翰·馮·諾伊曼]]與[[列夫·郎道]]各自獨立於1927年給出。<ref>{{Citation | last = von Neumann | first = John  | year = 1927 |title=Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik | journal = Göttinger Nachrichten | volume = 1|pages= 245–272  | doi = | postscript = }}</ref><ref name=Ballentine1998>{{cite book
 | last =Ballentine
 | first =Leslie
 | title =Quantum Mechanics: A Modern Development
 | url =https://archive.org/details/quantummechanics0000lesl
 | publisher =World Scientific
 | edition =2nd, illustrated, reprint
 | date =1998
 | isbn =9789810241056}}
</ref>{{rp|48-55}}<ref>{{Citation | last =  Fano | first = Ugo | year = 1957 | title = Description of States in Quantum Mechanics by Density Matrix and Operator Techniques | journal =  Reviews of Modern Physics | volume = 29 | pages = 74–93| doi =10.1103/RevModPhys.29.74 | postscript =  . | bibcode=1957RvMP...29...74F}}</ref>

==純態與混合態==
假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 <math>| \psi \rangle </math> 。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如，假設一個量子系統處於純態 <math>| \psi_1 \rangle</math> 、<math>| \psi_2 \rangle</math> 的機率都為50%，則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態，不管是純態，還是混合態，都可以用密度矩陣表示。

混合態與[[量子疊加|疊加態]]的概念不同，幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如，<math>(| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2} </math> 是個純態。

===光子偏振案例===
{{multiple image
| image1    = Linear_polarization_schematic.png
| width1    = 70
| alt1      = 平面偏振
| caption1  = <center>平面偏振</center>

| image2    =  Circular_polarization_schematic.png
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| caption2  = <center>圓偏振</center>


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| width3    = 70
| alt3      = 橢圓偏振
| caption3  = <center>橢圓偏振</center>

| align     = right
| footer    = 平面偏振（紫色）光波的電場（藍色）可以分解為兩個相互垂直的分量（紅色與綠色）。
}}
光子的兩種[[圓偏振|圓偏振態]]，右旋圓偏振態與左旋圓偏振態，分別以態向量 <math>|R\rangle</math> 、<math>|L\rangle</math> 標記。光子也可能處於疊加態，例如，垂直偏振態與水平偏振態分別為 <math>(|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2}</math>  、<math>(|R\rangle-|L\rangle)/\sqrt{2}</math> 。更一般地，光子偏振所處於的疊加態可以表示為 <math>\alpha|R\rangle+\beta|L\rangle</math> ；其中，<math>\alpha</math> 、<math>\beta</math> 是係數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。

假若讓處於疊加態 <math>(|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2}</math> 的光子通過[[偏振镜|左旋圓偏振器]]，則出射的光子處於左旋圓偏振態 <math>|L\rangle</math> ；假若通過[[偏振镜|右旋圓偏振器]]，則出射的光子處於右旋圓偏振態 <math>|R\rangle</math> 。對於這兩種圓偏振模，光子強度都會減半，貌似意味著疊加態 <math>(|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2}</math> 的一半光子處於量子態 <math>|R\rangle</math> ，另一半處於量子態 <math>|L\rangle</math> ，但這種解釋並不正確，處於量子態 <math>|R\rangle</math> 與 <math>|L\rangle</math> 的光子都有可能被[[偏振镜|垂直平面偏振器]]吸收，但是處於量子態 <math>(|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2}</math> 的光子不會被垂直平面偏振器吸收。

從[[白熾燈]]發射出的光子是一種[[偏振|非偏振態]]光子，不能用疊加態 <math>\alpha|R\rangle+\beta|L\rangle</math> 來描述。特別而言，與平面偏振態光子不同，它通過任何偏振器後都會失去50%強度，與圓偏振態光子不同，使用[[波片]]（waveplate）不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為，處於 <math>| R \rangle </math> 的機率是50%，處於 <math>| L \rangle </math> 的機率是50%。它也可以描述為，處於垂直偏振態的機率是50%，處於水平偏振態的機率是50%。

非偏振態光子的量子態不是純態，而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成，或者，它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分，因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料，足夠計算任何關於混合態的可測量性質。

混合態到底源自何處？試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個[[微觀態]]（microstate），伴隨每一個微觀態都有其發生的機率（[[波茲曼因子]]），它們會因[[熱力學漲落]]（thermal fluctuation）從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序，例如，將光束通過表面粗糙的[[雙折射|雙折射晶體]]，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用[[EPR佯謬|EPR機制]]，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為 <math>(|R,L\rangle+|L,R\rangle)/\sqrt{2}</math> ，整個系統是處於純態，但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子，從分析光子子系統的約化密度算符，可以得到這結論。

一般而言，混合態時常會出現於幾種純態的統計性混合（例如熱力學平衡）、製備程序的不確定性（例如光子可能移動於稍微不同路徑）、包含在糾纏系統內的子系統（例如EPR機制）。

===數學表述===
====純態====
{{參見|量子態}}
假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 <math>| \psi \rangle </math> ，對應的密度算符定義為<ref name=Laloe>{{citation|last=Laloe|first=Franck|title=Do We Really Understand Quantum Mechanics| publisher=Cambridge University Press|year=2012| isbn = 978-1-107-02501-1}}</ref>{{rp|309-313}}
:<math>\rho \ \stackrel{def}{=}\ | \psi \rangle\langle\psi| </math> 。

從密度算符的形式，可以推論密度算符是[[自伴算符]]：
:<math>\rho^{\dagger}=(| \psi \rangle\langle\psi|)^{\dagger}=| \psi \rangle\langle\psi|=\rho</math> 。

假設，物理量 <math>A</math> 是這量子系統的[[可觀察量]]，其[[本徵值]]為 <math>a_i</math> 的[[本徵態]] <math>|a_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n</math> 形成一個[[規範正交基]] <math>\{|a_i \rangle\}</math> ，則對可觀察量 <math>A</math> 做測量得到 <math>a_i</math> 的機率 <math>\mathcal{P}(a_i)</math>為<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|96-99}}
:<math>\begin{align}\mathcal{P}(a_i) & \ \stackrel{def}{=}\ |\langle a_i|\psi\rangle|^2 =\langle a_i|\psi\rangle\langle\psi|a_i\rangle \\
 & =\sum_k\langle a_k|a_i\rangle\langle a_i|\psi\rangle\langle\psi|a_k\rangle \\
 & =\sum_k\langle a_k|\Lambda(a_i)\rho|a_k\rangle \\
 & =\hbox{tr}(\Lambda(a_i)\rho) \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>\Lambda(a_i)\ \stackrel{def}{=}\ |a_i\rangle\langle a_i|</math> 是對應於本徵態 <math>|a_i\rang</math> 的[[投影|投影算符]]，<ref group="註">對於本徵態 <math>|a_i\rang</math> 的投影算符 <math>\Lambda(a_i)</math> ，假若作用於量子態 <math>|\psi\rangle</math> ，則會得到 <math>|a_i\rang</math> 與對應[[機率幅]]的乘積：
:<math>\Lambda(a_i)|\psi\rangle=|a_i\rangle\langle a_i|\psi\rangle=c_i|a_i\rangle</math> ；

其中，<math>c_i</math> 是在本徵態 <math>|a_i\rang</math> 裏找到 <math>|\psi\rangle</math> 的[[機率幅]]。
</ref><math>\hbox{tr}()</math> 是[[跡數]]。

做實驗測量可觀察量 <math>A</math> 獲得的[[期望值]]為
:<math>\begin{align}\langle A\rangle & \ \stackrel{def}{=}\ \sum_i a_i\mathcal{P}(a_i) =\sum_i a_i\langle a_i|\psi\rangle\langle\psi|a_i\rangle \\
 & =\sum_i a_i\langle a_i|\rho|a_i\rangle=\sum_i \langle a_i|A\rho|a_i\rangle=\hbox{tr}(A\rho) \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

這種可觀察量的期望值與跡數運算之間的關係稱為[[跡定則]]（trace rule）。<ref name="Schlosshauer2007">{{cite book|author=Maximilian A. Schlosshauer|title=Decoherence: And the Quantum-To-Classical Transition|date=1 January 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-35773-5}}</ref>{{rp|36}}對於不同的規範正交基，跡數是個不變量。採用任何規範正交基，都可以計算出同樣跡數。<ref group="註">給定兩個規範正交基 <math>\{|a_i \rangle\}, \{|b_i \rangle\}</math> ，對於任意算符 <math>W</math> ，
:<math>\operatorname{tr}(W)=\sum_i \lang a_i|W|a_i\rang=\sum_{i,j} \lang a_i|b_j\rang \lang b_j|W|a_i\rang=\sum_{i,j}  \lang b_j|W|a_i\rang\lang a_i|b_j\rang=\sum_{j}  \lang b_j|W|b_j\rang</math> 。

因此，對於不同的規範正交基，跡數是個不變量。</ref>另外，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有[[線性]]，這是很優良的性質，這意味著機率公式與期望值公式也適用於幾個密度算符的線性組合。

由於 <math>| \psi \rangle </math> 被歸一化， 密度算符的跡數為1：
:<math>\begin{align}\hbox{tr}(\rho) & =\hbox{tr}(| \psi \rangle\langle\psi|)
=\sum_i \langle a_i| \psi \rangle\langle\psi|a_i\rangle \\
 & =\sum_i \langle\psi|a_i\rangle\langle a_i| \psi \rangle=\langle\psi|\psi \rangle=1\\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

對於任意歸一化量子態 <math>\phi</math> ，
:<math>0\le\lang\phi|\rho|\phi\rang=\lang\phi|\psi \rangle\langle\psi|\phi\rang=|\lang\phi|\psi \rangle|^2 \le 1</math> ，

所以，密度算符是[[非負算符]]（nonnegative operator）。

====混合態====
將先前純態密度算符的定義式加以延伸，假設在一個量子系統處於純態 <math>| \psi_1 \rangle</math> 、<math>| \psi_2 \rangle</math> 、<math>| \psi_3 \rangle</math> 、……的機率分別為 <math>w_1</math> 、<math>w_2</math> 、<math>w_3</math> 、……，則這混合態量子系統的密度算符 <math>\rho</math> 為<ref name=Laloe/>{{rp|311-313}}
:<math> {\rho} \ \stackrel{def}{=}\ \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |</math> 。

每一個機率都是非負實值，所有機率的總和為1：
:<math>0\le w_i \le 1</math> ，
:<math>\sum_i w_i =1</math> 。

按照「無知詮釋」，這種量子系統確定是處於某個純態<math>\psi_i</math>，但是無法知道到底是哪一個純態。這種可以用無知詮釋來論述的量子系統稱為「真混合物」（proper mixture），否則，稱為「瑕混合物」（improper mixture）。<ref name="EspagnatEspagnat1999">{{cite book|author1=Bernard d' Espagnat|title=Conceptual Foundations of Quantum Mechanics|year=1999|publisher=Advanced Book Program, Perseus Books|isbn=978-0-7382-0104-7}}</ref>{{#tag:ref|在[[量子退相干]]裏，[[#複合系統|約化密度算符]]代表的是反常混合物，它不能被視為處於某個未知的純態；它是依賴環境與系統之間的相互作用使得所有的非對角元素趨於零，實際而言，這些非對角元素所表現的[[量子相干性]]已被遷移至環境，只有從整個密度算符才能查覺到這量子相干性的存在。<ref name=Schlosshauer2007/>{{rp|48-49}}|group="註"|name="mixture"}}

回想在純態段落裏，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有[[線性]]，這意味著對於混合態的密度算符，這些公式也都適用。加以延伸後的密度算符，也具有先前純態的密度算符所擁有的性質：
*密度算符是自伴算符：<math>\rho=\rho^{\dagger}</math> 。
*密度算符的跡數為1：<math>\hbox{tr}(\rho)=1</math> 。
*對可觀察量 <math>A</math> 做測量得到 <math>a_i</math> 的機率為 <math>\mathcal{P}(a_i)=\hbox{tr}(\Lambda(a_i)\rho)</math> 。
*做實驗測量可觀察量 <math>A</math> 獲得的[[期望值]]為 <math>\lang  A\rang =\hbox{tr}(A\rho)</math> 。
*密度算符是非負算符：<math>0\le\lang\phi|\rho|\phi\rang\le 1</math> 。

由於密度算符 <math>\rho</math> 是自伴算符，它具有[[譜定理|譜表示]]
:<math>\rho=\sum_i  a_i  | a_i \rangle \langle a_i | </math> ；

其中，<math>| a_i \rangle</math> 是[[本徵值]]為 <math> a_i </math> 的[[本徵態]]，所有 <math>| a_i \rangle</math> 形成一個[[規範正交基]]。

按照自伴算符的定義，每一個本徵值 <math> a_i </math> 是它自己的共軛：
:<math> a_i = a_i ^*</math> 。

由於密度算符 <math>\rho</math> 是非負算符，每一個本徵值 <math> a_i </math> 都是非負值。

由於密度算符 <math>\rho</math> 的跡數為1，
:<math>\sum_i  a_i =1</math> 。

給定一個量子系統，其所有可能的密度算符組成一個[[凸集]]。假設 <math> \rho_i,\quad i=1,2,3,...,n </math> 屬於這凸集，則 <math>\rho=\sum_i c_i\rho_i</math> 也屬於這凸集；其中，<math>0 \le c_i\le 1</math> 是係數，<math>\sum_i c_i=1</math> 。<ref name=Ballentine1998/>{{rp|51}}

===用密度算符辨認純態與混合態===
由於純態的密度算符定義式為<ref name=Laloe/>{{rp|311-313}}
:<math>\rho \ \stackrel{def}{=}\ | \psi \rangle\langle\psi| </math> ，

所以純態的密度算符具有特徵
*<math>\rho^2=\rho</math> 。
*<math>\hbox{tr}(\rho^2)=\hbox{tr}(\rho)=1</math> 。

否則，非純態的密度算符遵守關係式
:<math>\hbox{tr}(\rho^2)<\hbox{tr}(\rho)=1</math> 。

另外，將純態的密度矩陣 <math>\varrho</math> 對角化後，只能有一個對角元素等於1，其它對角元素都等於0，例如，一種形式為<ref name=Sakurai>{{Citation  | last1 = Sakurai  | first1 = J. J.  |last2 = Napolitano  | first2 = Jim  | title = Modern Quantum Mechanics  | edition = 2nd  | publisher = Addison-Wesley  | year = 2010|isbn =978-0805382914  }}</ref>{{rp|178-183}}
:<math>\varrho=
\begin{bmatrix}
 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\end{bmatrix}
</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

量子態的{{le|純度|purity (quantum mechanics)}}<math>\gamma</math> 定義為
:<math>\gamma=\hbox{tr}(\rho^2)</math> 。

純態的純度為1。處於N維希爾伯特空間、完全混合的混合態，其對角元素的數值為<math>1/N</math> 、非對角元素的數值為0，其純度為<math>1/N</math> 。<ref name=Schlosshauer2007/>{{rp|40-41}}

[[#馮諾伊曼熵|馮諾伊曼熵]]是另一種描述量子態混合程度的量度。

===連續性本徵態基底===
[[位置]]是一種[[連續性]]可觀察量，具有連續性本徵值譜，用這種可觀察量的連續性本徵態為基底，密度矩陣 <math>\varrho</math> 含有兩個位置參數 <math>x'</math> 、<math>x''</math> ：<ref name=Sakurai/>{{rp|186}}
:<math>\varrho(x',x'')=\sum_i w_i\psi_i(x')\psi_i^*(x'')</math> 。

可觀察量 <math>A</math> 的期望值為
:<math>\lang A\rang=\hbox{tr}(A\rho)=\int \mathrm{d}x' \int \mathrm{d}x'' \lang x'|A|x''\rang\lang x''|\rho|x'\rang</math> 。

===複合系統===
假設密度算符為 <math> \rho</math> 的複合系統是由兩個子系統 <math>A</math> 、<math>B</math> 組成，這兩個子系統的物理行為分別由其對應[[#約化密度算符|約化密度算符]]（reduced density operator） <math>\rho_A</math> 、<math>\rho_B</math> 描述：<ref name=Laloe/>{{rp|120-125，128-129}}<ref group="註" name="mixture"/>
:<math>\rho_A=\hbox{tr}_B(\rho)</math> 、
:<math>\rho_B=\hbox{tr}_A(\rho)</math> ；

其中，<math>\hbox{tr}_B</math> 、<math>\hbox{tr}_A</math> 分別是對於子系統<math>B</math> 、<math>A</math> 的[[跡數|偏跡數]]（partial trace）。

這複合系統的兩個子系統之間沒有任何關聯（沒有任何[[量子相干性|量子關聯]]或經典關聯），若且唯若 <math>\rho</math> 是 <math>\rho_{A}</math> 與 <math>\rho_{B}</math> 的[[張量積]]：
:<math>\rho=\rho_{A}\otimes\rho_{B}</math> 。

====約化密度算符====
約化密度算符最先由[[保羅·狄拉克]]於1930年提出<ref>{{cite journal|doi=10.1017/S0305004100016108|title=Note on Exchange Phenomena in the Thomas Atom|year=2008|last1=Dirac|first1=P. A. M.|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=26|issue=3|pages=376|bibcode=1930PCPS...26..376D}}</ref>。假設兩個希爾伯特空間<math>H_A</math>、<math>H_B</math>的[[規範正交基]]分別為<math>\{|a_i \rangle_A\}</math>、<math>\{|b_j \rangle_B\}</math>，分別在這兩個希爾伯特空間<math>H_A</math>、<math>H_B</math>的兩個子系統<math>A</math>、<math>B</math>所組成的複合系統，其量子態為純態<math>|\psi\rang</math>，其[[密度算符]]<math>\rho</math>為
:<math>\rho= |\psi\rangle \langle\psi|</math>。

取密度算符<math>\rho</math>對於子系統<math>B</math>的[[跡數|偏跡數]]，可以得到子系統<math>A</math>的約化密度算符<math>\rho_A</math>：
:<math>\rho_A \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_j \langle b_j|_B \left( |\psi\rangle \langle\psi| \right) |b_j\rangle_B = \hbox{tr}_B(\rho) </math>。

例如，糾纏態<math>|\psi\rangle_{AB}=( |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B )/\sqrt{2}</math>，其子系統<math>A</math>的約化密度算符<math>\rho_A</math>為
:<math>\rho_A = \frac{1}{2} \bigg( |0\rangle_A \langle 0|_A + |1\rangle_A \langle 1|_A \bigg)</math>。

如同預想，這公式演示出，子系統<math>A</math>的約化密度算符<math>\rho_A</math>為混合態。

==範例==
[[File:Stern-Gerlach experiment zh.png|thumb|250px|設定[[斯特恩-革拉赫實驗]]儀器的磁場方向為z-軸，入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束，每一道銀原子束代表一種量子態，上旋<math>|\uparrow\rangle</math>或下旋<math>|\downarrow\rangle</math>。]]
如右圖所示，使用z-軸方向的[[斯特恩-革拉赫實驗]]儀器，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量 <math>S_z</math> 分裂成兩道，一道的 <math>S_z</math> 為上旋，標記為   <math>|z+\rangle</math> ，另一道的 <math>S_z</math> 為下旋，標記為 <math>|z-\rangle</math> 。

===z-軸方向===
*態向量：<math>|z+\rang = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}</math> 。
:密度矩陣：<math>\varrho_{z+} = |z+ \rangle\langle z+| = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

*態向量：<math>|z-\rang = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}</math> 。

:密度矩陣：<math>\varrho_{z-} = |z- \rangle\langle z-| = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} </math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

===x-軸方向===
*態向量：<math>|x+ \rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix} </math> 。
:密度矩陣：<math>\varrho_{x+}= |x+ \rangle\langle x+| = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

*態向量：<math>|x- \rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix}</math> 。
:密度矩陣：<math>\varrho_{x-}= |x- \rangle\langle x-| = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} </math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

===y-軸方向===
*態向量：<math>|y+ \rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{bmatrix}</math> 。
:密度矩陣：<math>\varrho_{y+}= |y+ \rangle\langle y+| = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{i}{\sqrt2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} \\ \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

*態向量：<math>|y- \rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{bmatrix}</math> 。
:密度矩陣：<math>\varrho_{y-}= |y- \rangle\langle y-| = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{i}{\sqrt2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} </math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

===完全隨機粒子束===
完全隨機粒子束的量子態不是純態，它可以由50% <math>|z+\rang</math> 純態與50% <math>|z-\rang</math> 純態組成：
:<math>\varrho= \frac{1}{2}\varrho_{z+} +  \frac{1}{2}\varrho_{z-} = \frac{1}{2}\left[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\right] 
= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

它也可以由50% <math>|x+\rang</math> 純態與50% <math>|x-\rang</math> 純態組成：
:<math>\varrho= \frac{1}{2}\varrho_{x+} + \frac{1}{2}\varrho_{x-}= \frac{1}{2}\left[\begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix}\right] 
= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

另外，它還可以由50% <math>|y+\rang</math> 純態與50% <math>|y-\rang</math> 純態組成，因此可見，不同的組合仍可得到同樣的混合態。

一般而言，完全隨機粒子束的 <math>N\times N</math> 密度矩陣 <math>\varrho</math> ，經過對角化之後，可以寫為<ref name=Sakurai/>{{rp|186}}
:<math>\varrho=\frac{1}{N}
\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{bmatrix}
</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

==热平衡态==
对于一组能量[[本征态]]<math>| \psi_n \rangle</math>，[[热平衡]]下的[[混态]]：
:<math> \rho = \sum_n \omega_n | \psi_n \rangle \langle \psi_n |</math>
其中<math>p_n = \exp (-E_n / kT) / Z</math>，以及<math>Z = \displaystyle {\textstyle \sum_n} \exp (-E_n / kT) </math>是[[配分函数]]。对于不含时哈密顿算符，热平衡的混态是不随时间演化的。<ref>{S. VanEnk, "Mixed states and pure states," [Online Note]. University of Oregon. Available: https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/Mixed_states.pdf {{Wayback|url=https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/Mixed_states.pdf |date=20230614042809 }} [Accessed: September 25, 2023]}</ref>

==馮諾伊曼方程式==
{{See also|刘维尔定理 (哈密顿力学)#量子力学|l1=刘维尔定理}}
薛丁格方程式描述純態怎樣隨著時間流逝而演化，馮諾伊曼方程式描述密度算符怎樣隨著時間流逝而演化。實際而言，這兩種方程式等價，因為它們彼此都可以推導出對方。假設，在時間 <math>t_0</math> ，量子系統的密度算符為
:<math>\rho(t_0) =\sum_i w_i| \psi_i(t_0)  \rangle\langle\psi_i(t_0)| </math> ；

其中，量子系統在時間 <math>t_0</math> 處於純態 <math>|\psi_i(t_0)\rang </math> 的機率是 <math>w_i</math> 

假若不攪擾這量子系統，則機率 <math>w_i</math> 跟時間無關。在時間 <math>t</math> ，純態 <math>|\psi_i(t)\rang</math> 遵守[[含時薛丁格方程式]]
:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi_i(t)\rang=H|\psi_i(t)\rang </math> ，

其中，<math>\hbar</math> 是約化普朗克常數，<math>H</math> 是[[哈密頓算符]]。

所以，馮諾伊曼方程式表示為<ref>{{citation |title=The theory of open quantum systems|last1= Breuer |first1=Heinz|last2= Petruccione|first2=Francesco|page=110 |isbn=9780198520634}} </ref><ref>{{Citation|title=Statistical mechanics|last=Schwabl |first=Franz| page=16 |isbn=9783540431633 |year=2002 }}</ref>
:<math>\begin{align}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\rho(t) & =\sum_i w_i (H | \psi_i(t) \rangle\langle\psi_i(t)|- | \psi_i(t) \rangle\langle\psi_i(t)|H) \\
 & =-[\rho,H] \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，方括弧代表[[對易算符]]。

注意到只有當採用[[薛丁格繪景]]時（必須採用薛丁格繪景來計算密度算符）這方程式才成立，雖然這方程式看起來很像[[海森堡繪景]]的[[海森堡繪景#數學表述|海森堡方程式]]，唯一差別是關鍵的正負號：
:<math> \frac{dA^{(H)}}{dt}=-\ \frac{i}{\hbar}[A^{(H)},H] </math> ；

其中，<math>A^{(H)}</math> 是某種採用[[海森堡繪景]]的算符。

在海森堡繪景裏，密度算符與時間無關，正負號差別確使期望值 <math>\langle A \rangle</math> 對於時間的導數會得到與薛丁格繪景相同的結果。<ref group="註">在薛丁格繪景裏，純態隨著時間而演化的形式為
:<math>|\psi_i(t)\rang=e^{-iH(t-t_0)}|\psi_i(t_0)\rang </math> 。

因此，密度算符與時間無關：
:<math>\begin{align}\rho(t) & =\sum_i w_i| \psi_i(t)  \rangle\langle\psi_i(t)|  \\
 & =\sum_i w_i \left(| \psi_i(t_0)  \rangle  e^{iH(t-t_0)}e^{-iH(t-t_0)} \langle\psi_i(t_0)| \right) \\
 & =\sum_i w_i \left(| \psi_i(t_0)  \rangle   \langle\psi_i(t_0)| \right) \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

採用薛丁格繪景來計算密度算符這動作很合理，因為密度算符是由薛丁格左矢與薛丁格右矢共同組成，而這兩個向量都是隨著時間流逝而演進。</ref>

假若哈密頓算符不含時，則可從馮諾伊曼方程式推導出
:<math>\rho(t) = e^{-i H t/\hbar} \rho(0) e^{i H t/\hbar}</math> 。

==馮諾伊曼熵==
[[File:Von Neumann entropy for bipartite system plot.svg|right|200px|thumb|對於兩體純態系統，馮諾伊曼熵 <math>\sigma</math> （豎軸）與本徵值 <math> a_i </math> （橫軸）之間的關係曲線。]]
在[[量子統計力學]]（quantum statistical mechanics）裏，[[馮諾伊曼熵]]（von Neumann entropy）是經典統計力學關於[[熵]]概念的延伸。對於密度矩陣為 <math>\varrho</math> 的混合態，馮諾伊曼熵定義為<ref name="bengtsson301">{{cite book|last1=Bengtsson|first1=Ingemar|last2=Zyczkowski|first2=Karol|title=Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement|edition=1st}}</ref>{{rp|301}}<!--link from Von Neumann entropy--><!--link from density matrix-->
:<math>\sigma  \ \stackrel{def}{=}\  - \mathrm{tr}(\varrho \ln \varrho)</math> 。

這公式涉及到[[矩陣對數]]（logarithm of a matrix），似乎很難計算，<ref group="註">[[矩陣對數]]（logarithm of a matrix）也是矩陣；後者的[[矩陣指數]]等於前者。這是純[[對數]]的推廣。這運算是矩陣指數的[[反函數]]。並不是所有矩陣都有對數，有些矩陣有很多個對數。</ref>但密度算符 <math>\rho</math> 是自伴算符，具有譜表示<ref name=Sakurai/>{{rp|186-188}}
:<math>\rho=\sum_i  a_i  | a_i \rangle \langle a_i | </math> ；

其中，<math>| a_i \rangle</math> 是[[本徵值]]為 <math> a_i </math> 的[[本徵態]]，所有 <math>| a_i \rangle</math> 形成一個[[規範正交基]]。

因此，可以將密度矩陣 <math>\varrho</math> 對角化，將馮諾伊曼熵更簡單地以對角化後的密度矩陣 <math>\varrho</math> 定義為
:<math>\sigma = -\sum_i \varrho_{ii} \ln \varrho_{ii}</math> 。

馮諾伊曼熵 <math>\sigma</math> 又可以寫為
:<math>\sigma = -\sum_i a_i \ln a_i</math> 。

從這形式，可以推論馮諾伊曼熵與經典[[信息論]]裏的[[夏農熵]]（Shannon entropy）相關。<ref name="bengtsson301" />

在這裏，可以視每一個本徵值 <math>a_i</math> 為處於本徵態 <math>| a_i \rangle</math> 的機率。假若某事件的發生機率為零，則這事件不應貢獻出絲毫馮諾伊曼熵。從數學而言，以下極限為零：
:<math> \lim_{a \to 0} a \log a = 0</math> 。

因此，可以採用約定
:<math>0 \log 0  = 0</math> 。

純態的馮諾伊曼熵為零，因為其密度矩陣對角化之後，只有一個元素為1，其它均為0。即所有對角元素 <math> a_i </math> 必定滿足 <math> a_i =0</math> 或 <math>\ln a_i=0</math> 。

完全隨機混合態的 <math>N\times N</math> 密度矩陣，其馮諾伊曼熵 <math>\sigma</math> 為
:<math>\sigma = -\sum_i \frac{1}{N}\ln\frac{1}{N}=\ln N</math> 。

假若，將馮諾伊曼熵視為量子系統失序現象的一種量度，則純態擁有最小的馮諾伊曼熵 <math>0</math> ，而完全隨機混合態擁有最大的馮諾伊曼熵 <math>\ln N</math> 。

每一次做[[量子測量#射影测量|投影測量]]，馮諾伊曼熵都會增加，永遠不會減少，但是，對於[[廣義測量]]（generalized measurement），馮諾伊曼熵可能會減少。<ref>{{Citation | last1=Nielsen | first1=Michael | last2=Chuang | first2=Isaac | title=Quantum Computation and Quantum Information | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-63503-5 | year=2000}}. Chapter 11:  Entropy and information, Theorem 11.9, "Projective measurements cannot decrease entropy"</ref><ref name="everett56">{{Citation | last1=Everett | first1=Hugh | title=The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics | publisher=Princeton University Press | series=Princeton Series in Physics | isbn=978-0-691-08131-1  | year=1973 | chapter=The Theory of the Universal Wavefunction (1956) Appendix I. "Monotone decrease of information for stochastic processes"  | pages=128–129}}</ref>混合態的馮諾伊曼熵永遠不小於零。因此，純態可以通過投影測量改變為混合態，但是，非純態的混合態永遠無法通過投影測量改變為純態。投影測量這動作促成了一種基本不可逆性的對於密度算符的改變，如同[[波函數塌縮]]。實際而言，相當反直覺地，投影測量這動作抹除了複合系統的[[量子相干性]]。更詳盡內容，請參閱條目[[量子退相干]]。

一個量子系統的子系統可以從混合態改變為純態，但是所附出的代價是其它部分的馮諾伊曼熵會增加，就好似將一個物體放進冰箱來降低其[[熵]]，冰箱熱交換器外的空氣會變暖，而所增加的熵會比物體所減少的熵更多。更詳盡內容，請參閱條目[[熱力學第二定律]]。

==參閱==
*[[玻恩法則]]（Born rule）
*[[格里森定理]]（Gleason's theorem）
*[[密度泛函理論]]

==註釋==
{{Reflist|group="註"}}

== 參考资料 ==
{{reflist|2}}

{{Statistical mechanics topics}}
{{Quantum mechanics topics}}

{{DEFAULTSORT:density operator}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:矩阵]]
[[Category:统计力学]]
[[Category:量子信息科学]]