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{{无穷级数}}
在[[数学]]领域，'''收敛性判别法'''是判断[[级数|无穷级数]][[级数收敛|收敛]]、[[条件收敛]]、[[绝对收敛]]、[[区间收敛]]或[[发散]]的方法。

== 判别法列表 ==
=== 通项极限判别法 ===
如果序列通项的极限不为零或无定义，即<math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\ne0</math>，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是[[柯西数列]]的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。

=== [[比值审敛法]]（检比法） ===
假设对任何的<math>n</math>，<math>a_n>0</math>。如果存在<math>r</math>使得：
:<math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r</math>
如果<math>r<1</math>，那么级数绝对收敛。如果<math>r>1</math>，那么级数发散。如果<math>r=1</math>，比例判别法失效，级数可能收敛也可能发散，此时可以考虑高斯判别法。

=== [[高斯判别法]] ===

设<math> \sum_{n=1}^\infty a_n </math>是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始）<math> a_n>0 </math>。倘若其相邻项比值<math>\frac{a_n}{a_{n+1}}</math>可以被表示为：

<math>\frac{a_n}{a_{n+1}} = \lambda + \frac{\mu}{n} + \frac{\theta_n}{n^2}</math>

其中<math>\lambda</math>和<math>\mu</math>都是常数，而<math>\theta_n</math>是一个有界的序列，那么
* 当<math>\lambda>1</math>或<math>\lambda=1,\mu>1</math>时，级数收敛；
* 当<math>\lambda<1</math>或<math>\lambda=1,\mu\le 1</math>时，级数发散。


=== [[根值审敛法]]（检根法）===
:<math>r=\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>

其中<math>\limsup</math>表示[[上极限和下极限|上极限]]（可能为无穷，若极限存在，則极限值等于上极限）。

如果<math>r<1</math>，级数绝对收敛。如果<math>r>1</math>，级数发散。如果<math>r=1</math>，开方判别法无效，级数可能收敛也可能发散。

=== [[积分判别法]] ===
级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令<math>f(n)=a_n</math>为一正项[[单调函数|单调递减函数]]。如果：
:<math>\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}f(x)\,dx<\infty</math>
那么级数收敛。如果积分发散，那么级数也发散。

===[[比較審斂法]]===
如果<math>\sum^\infty_{n=1} b_n</math>是一個[[絕對收斂]]級數且對於足夠大的<math>n</math>，有<math>|a_n|\leq|b_n|</math>，那麼級數<math>\sum^\infty_{n=1} a_n</math>也絕對收斂。

=== [[極限比較審斂法]] ===
如果<math>\left\{a_n\right\}\geq 0,\left\{b_n\right\}>0</math>，并且极限<math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}</math>存在非零，那么<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>收敛[[当且仅当]]<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>收敛。

=== [[交错级数判别法]] ===
具有以下形式的级数<math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n\!</math>。其中所有的<math>a_n</math>非[[负]]，被称作[[交错级数]]。如果当<math>n</math>趋于无穷时，[[数列]]<math>a_n</math>的极限存在且等于<math>0</math>，并且每个<math>a_n</math>小于或等于<math>a_{n-1}</math>（即数列<math>a_n</math>是[[单调递减]]的），那么级数收敛。如果<math>L</math>是级数的和<math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n=L\!</math>那么部分和<math>S_k=\sum_{n=0}^k(-1)^na_n\!</math>逼近<math>L</math>有截断误差<math>\left|S_k-L\right\vert\le\left|S_k-S_{k-1}\right\vert=a_k\!</math>。

=== [[阿贝尔判别法]] ===
给定两个[[实数]]项[[数列]]<math>\{a_n\}</math>和<math>\{b_n\}</math>，如果数列满足<math>\sum^{\infty}_{n=1}a_n</math>收敛，<math>\{b_n\}</math>是[[单调函数|单调]]且[[有界函數|有界]]的，则级数<math>\sum^{\infty}_{n=1}a_nb_n</math>收敛。

== 参阅 ==
* [[狄利克雷判别法]]
* [[拉比判别法]]

== 参考文献 ==
<references/>

== 外部链接 ==
* [http://www.math.tamu.edu/~austin/serieschart.pdf Flowchart for choosing convergence test]{{Wayback|url=http://www.math.tamu.edu/~austin/serieschart.pdf |date=20100808034427 }}
* [http://www.math.unh.edu/~jjp/radius/radius.html Convergence of infinite series]{{Wayback|url=http://www.math.unh.edu/~jjp/radius/radius.html |date=20120419075711 }}

[[Category:数学分析]]
[[Category:级数]]
[[Category:审敛法]]