查看“︁实质条件”︁的源代码

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{{noteTA
|1=zh-cn:蕴涵门; zh-hk:蘊含門; zh-tw:蘊含閘;
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|subject=邏輯運算符
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[[File:Venn1011.svg|thumb|[[文氏图]]<math>A \rightarrow B</math>]]
在[[命题演算]]，或在[[数学]]的逻辑演算中，'''实质条件'''、'''實質蘊涵'''或'''蕴涵算子'''是一种[[二元关系|二元]]的[[真值泛函]]的[[逻辑运算符]]，它有着如下形式：

:若A，則B。

这裡的A和B是陈述变量（可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代）。在这种形式的陈述中，第一项这裡的A，叫做[[前件]]；第二项这裡的B，叫做[[后件]]。

这个算子使用右箭头“→”（有时用符号“⇒”或“⊃”）来符号化，其語義僅爲“如果A為真，那么B亦為真”。它的常見寫法見下：
*<math> A \to B</math>
*<math>A \supset B</math>
*<math>A \Rightarrow B</math>
須注意的是，<math>\Rightarrow</math>更常用於語意蘊含（等同符號<math>\vDash</math>）。這也是大多數初學者易搞混的點。

==真值表==

涉及实质蕴涵的[[真值表]]定义如下：

:{| class="wikitable" style="font-family:Arial;"
!<math>~A </math> !! <math>~B</math> !! <math>~A \rightarrow ~B</math>（符合了「如果A為真，那麼B必為真」）
|- align=center
| F || F || T
|- align=center
| F || T || T
|- align=center
| T || F || F
|- align=center
| T || T || T
|}

由此可见，<math>A \to B</math> 等价于<math>\neg A \lor B</math>。

==形式性質==

實質條件不要混淆於[[蘊涵]]關係<math> \models </math>。但在多數邏輯包括[[經典邏輯]]中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立：

*如果<math>\Gamma\models\psi</math>則<math>\emptyset\models\phi_1\land\dots\land\phi_n\rightarrow\psi</math>對于某些<math>\phi_1,\dots,\phi_n\in\Gamma</math>。（這是[[演繹定理]]的特定形式。）

*上述的逆命題

* <math>\rightarrow</math>和<math> \models </math>而二者都是[[單調函數|單調]]的；就是說如果<math>\Gamma\models\psi</math>則<math>\Delta\cup\Gamma\models\psi</math>，并且如果<math>\phi\rightarrow\psi</math>則<math>(\phi\land\alpha)\rightarrow\psi</math>對於任何α, Δ。（用[[結構規則]]的術語說，這叫做弱化。）

但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於[[非單調邏輯]]中，也不成立於[[相干邏輯]]中。

實質蘊涵的其他性質：

*左[[分配律]]：<math>A \rightarrow (B \rightarrow C) \rightarrow ((A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C))</math>

*[[傳遞關係|傳遞律]]：(<math>A \rightarrow B) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C))</math>

*[[冪等律]]：<math>A \rightarrow A</math>

*'''真理保持''':在其下所有變量被指派為真值‘真’的釋義生成真值‘真’作為實質蘊涵的結果。

*前[[交換律]]：(<math>A \rightarrow (B \rightarrow C)) \equiv (B \rightarrow (A \rightarrow C))</math>

注意<math>A \rightarrow (B \rightarrow C)</math> [[邏輯等價]]於<math>(A \land B) \rightarrow C</math>；這個性質有時叫做[[柯里化]]。由於這些性質，對→符號採用[[右結合]]約定是合適的。

==對自然語言的符号表示==

在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本，学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的，这通常包括实质条件、[[析取]]、[[合取]]、[[否定]]和（经常的）[[双条件]]。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加[[等号]]、[[存在量词]]和[[全称量词]]。

用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括，“如果/当”、“仅当”、“假定”、“假如”、“假设”、“蕴涵”、“即使”和“万一”。很多这些短语指示前件，另一些指示后件。正确识别“蕴涵方向”是重要的。比如，“A仅当B”被如下陈述捕获

A → B

而“A当B”被如下陈述正确捕获

B → A

蕴涵算符的中文意思包括“那么”“则”“是因为”“如果……就……”。
{| class="wikitable"
|-
! 中文 !! 数学表达式
|-
| 如果天下雨，我就带伞 || 天下雨→我带伞
|-
| 学生只有喜欢数学，才会学好物理<br>學生因為喜欢数学，物理才学得好|| 喜欢数学→物理学得好
|-
|-
| 如果老婆說對，我就要聽 || 老婆說對→我就聽
|-
|}

==同其他条件陈述的比较==
使用这个算子是逻辑学家规定的，作为结果，它产生了一些有爭議的真值推理陳述句。比如前件明顯为假設的，任何实质条件的整句陈述結果都是真值成立的。所以陈述句如“假設 <math>2</math>是奇数，則蕴涵了 <math>2</math>是偶数”這樣違反自然語言直覺的推理蕴涵是真的。类似的，后件为真的任何实质条件陳述都是真的。所以陈述“若天空的颜色是绿色，则巴黎是在法国”是真的。

这些有爭議的真值推理陳述句出现，是因为自然口语的人經常易受诱惑，而把'''实质条件'''和[[直陈条件]]或其他条件陈述如[[反事实条件]]，混淆在一起了。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把  ''A → B''读做“要么不是情况 <math>A</math>  要么是情况 <math>B</math>（或二者）”，或更简单的“ <math>A</math>为假 或 <math>B</math>为真（或二者）”。（當 <math>A</math>为假，此式即已被淺薄的（trivial）滿足。这种陈述[[逻辑等价|等价]]的自然口語方式，即是使用否定和析取(或)的逻辑符号 <math>\neg A \vee B</math>而获得的。）

==引用==

* [[Frank Markham Brown|Brown, Frank Markham]]（2003）, ''Boolean Reasoning:  The Logic of Boolean Equations'', 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA.  2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.

* Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), ''The Blackwell Guide to Philosophical Logic'', Blackwell.

* Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy'',  [http://plato.stanford.edu/entries/conditionals/ Eprint]{{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/entries/conditionals/ |date=20181227124543 }}.

* [[W.V. Quine|Quine, W.V.]]（1982）, ''Methods of Logic'', (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.

* [[Robert Stalnaker|Stalnaker, Robert]]. 'Indicative Conditionals'. ''[[Philosophia]]'' '''5'''（1975）: 269–286.

==外部链接==

*陳力恒：〈[https://web.archive.org/web/20091228050122/http://www.thinkerspace.com/node/504 如言、選言發微]〉
*陳力恒：〈[http://www.thinkerspace.com/node/519 關聯詞之邏輯關聯]{{Wayback|url=http://www.thinkerspace.com/node/519 |date=20090219000022 }}〉
{{逻辑联结词}}
[[Category:邏輯聯結詞|S]]
[[Category:數理邏輯|S]]
[[Category:二元運算|S]]