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{{NoteTA|G1=Math}}
直观上，'''实数完备性'''（{{lang-en|Completeness of the real numbers}}）意味着[[数轴|实数轴]]上（以[[理查德·戴德金]]的说法）没有“间隙”。这是实数区别于[[有理数]]的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即[[无理数]]。在[[十进制|十进制计数法]]下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制[[小数]]表示一一对应。

实数的完备性[[公理]]有一组等价[[命题]]，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价[[定理]]。

==等價命題==
实数完备性可以用以下任意一个等价定理作為出發點。以下從'''最小上界定理'''出发，來证明其他等价命题。

==== 最小上界性 ====
{{Main|最小上界性}}又稱為'''上確界定理'''（Theorem of '''L'''east-'''U'''pper-'''B'''ound, 簡稱'''LUB'''），也就是
{{math_theorem
| name = 定理
| math_statement = [[集合 (数学)|集合]] <math>A \subset \R</math> 且 <math>A \neq \varnothing</math> ，若 <math>A</math> 存在 <math>d \in \R</math> ，使得：

「對所有的 <math>a \in A</math> ， <math>a \leq d</math> 」（稱 <math>d</math> 為 <math>A \subset \R</math> 的一個[[上界]]）

則存在 <math>s \in \R</math> 使得：

「 <math>s</math> 為 <math>A</math> 的一個上界 」且 「對所有 <math>r \in \R</math> ，只要 <math>r</math> 為 <math>A</math> 的一個上界，則 <math>s \leq r</math> 」
}}
也就是說，[[实数]][[非空集合|非空]][[子集]]有上界，则它有[[最小上界]]。其證明請參見[[實數的構造]]。

==== 柯西收敛准则 ====
{{Main|柯西收敛准则}}

设 <math>\{ s_n\}_{n\in\N}</math> 是實數[[柯西序列]]。设 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 <math>\{ s_n\}_{n\in\N}</math> 中的'''有限個'''成員。<math>\forall\varepsilon\in\R ^+</math>，设 <math>N\in\N^{+}</math> 使得 <math>\forall n,m\ge N</math>， <math>|s_n-s_m|<\varepsilon</math>。於是这个序列在[[区间]] <math>(s_N-\varepsilon ,s_N+\varepsilon )</math> 裡出現无限多次，而且只在它的補集裡最多出現''有限次''。这意味着 <math>s_N-\varepsilon\in </math> S， 因此 S<math>\not=\emptyset</math>。另外 <math>s_N+\varepsilon</math> 是 S 的上界。於是通过 LUB 公理，可以设 b 是 ''S'' 的最小上界，而且 <math>s_N-\varepsilon\le b\le s_N+\varepsilon</math> 。由[[三角不等式]]，當 ''n''>''N'' 時成立时 <math>d(s_n,b)\le d(s_n,s_N)+d(s_N,b)\le\varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon</math>。所以 <math>s_n\longrightarrow b</math> 。

滿足[[柯西收敛准则]]的[[度量空间|度量空間]]稱為完備空間，若取函數 <math>d</math> 為

: <math>d =
\left\{
(a,\,b)
\bigg|
(a,\,b\in\R) 
\wedge
(b = |a|)
\right\}</math>

可以驗證  <math>(\R,\,d)</math>  為一度量空間，這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系 <math>\R</math> 有'''最小上界定理'''等價於 <math>(\R,\,d)</math> 為'''完備空間'''。」

==== 区间套原理 ====
{{Main|区间套}}
定理聲稱對於任一的有界閉區間套{{math|''I''<sub>''n''</sub>}}（例如{{math|1=''I''<sub>''n''</sub> = [''a''<sub>''n''</sub>, ''b''<sub>''n''</sub>]}}並滿足{{math|1=''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b''<sub>''n''</sub>}}），它們的交集{{math|''I''<sub>''n''</sub>}}非空，且為閉區間<math>[\lim_{n\to \infty}a_n, \lim_{n\to \infty} b_n]</math>；特別地，假若<math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n-b_n=0</math>，則它們的交集''J''為一個包含且僅包含<math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n</math>的單點集。

==== 单调有界定理 ====
{{Main|单调收敛定理}}
如果<math>\{a_k\}_{k=1}^\infty</math>是一个单调的[[实数]][[序列]]（例如單調遞增：<math>a_k \leq a_{k+1}</math>），则这个序列具有[[有限]][[数列極限|极限]]，当且仅当序列[[有界函数|有界]]。此定理可以由LUB公理證明。

==== 聚点定理 ====
{{Main|波尔查诺-魏尔施特拉斯定理}}
'''波爾查諾-魏爾施特拉斯定理'''（{{lang-en|'''Bolzano–Weierstrass theorem'''}}）说明，<math>\mathbb{R}</math>中的一個[[子集]]<math>E</math>是[[紧集|序列緊緻]]（每個序列都有收斂子序列）当且仅当<math>E</math>是[[有界集合|有界]][[閉集]]。更一般地，這個定理對有限维[[实数|实]][[向量空间]]<math>\mathbb{R}^n</math>亦有效。

== 参考资料 ==
{{reflist}}
*[http://eom.springer.de/U/u095810.htm Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of Mathematics]{{Wayback|url=http://eom.springer.de/U/u095810.htm |date=20080219154658 }}
*Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).

{{實數}}
[[Category:数学分析]]
[[Category:实分析]]
[[Category:公理]]
[[Category:数学定理]]