查看“︁实数”︁的源代码

{{unreferenced|time=2018-08-13T11:17:14+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
{{Numbers}}
[[File:Latex real numbers square.svg|right|thumb|120px|'''實數'''集的表示符號 (<math>\R</math>)]]

在[[數學]]中，'''实数'''（{{lang-en|real number}}）是[[有理數]]和[[無理數]]的总称，前者如<math>0</math>、<math>-4</math>、<math>\frac {81} {7}</math>；后者如<math>\sqrt{2}</math>、<math>\pi</math>等。实数可以[[直观]]地看作[[小數]]（[[有限小数|有限]]或[[无限小数|無限]]的），它們能把[[数轴]]「填滿」。但僅僅以[[枚舉]]的方式不能描述實數的全體。实数和[[虚数]]共同构成[[复数 (数学)|复数]]。

根据日常经验，[[有理數集]]在數軸上似乎是「[[稠密]]」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足[[測量]]上的實際需要。以邊長為<math>1</math>公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如[[誤差]]小於<math>0.001</math>公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如<math>1.414</math>公分）。但是，[[古希臘]][[畢達哥拉斯學派]]的數學家發現，只使用有理數無法完全[[精確]]地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：

* 任何兩條線段（的長度）的比，可以用[[自然數]]的比來表示。

正因如此，[[畢達哥拉斯]]本人甚至有「萬物皆數」的信念，這裡的數是指自然數（<math>1, 2 , 3, \ldots </math>），而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數集存在「縫隙」這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊；見[[第一次數學危機]]。

從[[古希臘]]一直到17世紀，[[數學家]]們才慢慢接受無理數的存在，並把它和有理數平等地看作[[數]]；後來有[[虚数]]概念的引入，為加以區別而稱作“實數”，意即“實在的數”。在當時，儘管虛數已經出現並廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至[[函數]]、[[极限 (数学)|極限]]和[[收斂性]]的概念都被定義清楚之後，才由十九世紀末的[[戴德金]]、[[康托尔]]等人對實數進行了嚴格處理。

所有实数的集合則可稱為'''实数系'''（real number system）或'''实数连续统'''。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用<math>\R</math>表示。由于<math>\R</math>是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。<ref>《数学辞海（第一卷）》山西教育出版社 中国科学技术出版社 东南大学出版社</ref>

== 初等數學 ==
在目前的[[初等數學]]中，没有對實數進行嚴格的定義，而一般把實數看作[[小數]]（有限或無限的）。实数的完备性可以利用幾何加以说明，即数轴上的點與實數一一對應；見[[数轴]]。

实数可以分为[[有理数]]（如[[42|<math>42</math>]]、<math>-\frac {23}{129}</math>）和[[无理数]]（如[[圓周率|<math>\pi</math>]]、<math>\sqrt{2}</math>），或者[[代数数]]和[[超越数]]（有理數都是代數數）两类。实数[[集合 (数学)|集合]]通常用字母<math>R</math>或<math>\R</math>表示。而<math>\R^n</math>表示<math>n</math>[[维]]实数空间。实数是不可数的。实数是[[实分析]]的核心研究对象。

实数可以用来测量[[连续]]變化的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的[[数列]]（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后<math>n</math>位，<math>n</math>为正整数）。在计算机领-{域}-，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用[[浮点数]]来表示。

==正数与负数==
{{main|正数|负数}}
实数是一个[[集合 (数学)|集合]]，通常可以分为[[正数]]、[[负数]]和[[0|零]]（<math>0</math>）三类。「正数」（符号：<math>\R^{+}</math>）即[[大于]]<math>0</math>的实数，而「负数」（符号：<math>\R^{-}</math>）即[[小于]]<math>0</math>的实数。与实数一样，两者都是[[不可數]]的[[無限集合]]。正数的[[相反数]]一定是负数，负数的相反数也一定是正数。除正數和負數外，通常将<math>0</math>與正數统称为「非負數」（符号：<math>\R^{+}_{0}</math>），而将<math>0</math>與負數统称为「非正數」（符号：<math>\R^{-}_{0}</math>）。这和[[整数]]可以分为[[正整數]]、[[负整数]]和零（<math>0</math>），而<math>0</math>與正整數通常统称为非負整數、<math>0</math>與負整數则通常统称为非正整數非常相似。另外，只有实数可以分为正和负等，[[虚数]]是没有正负之分的。

== 历史 ==
在公元前500年左右，以[[毕达哥拉斯]]为首的[[希腊]][[数学家]]们認識到有理數在幾何上不能滿足需要，但[[毕达哥拉斯]]本身並不承認無理數的存在。
直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，[[微积分学]]在实数的基础上发展起来。直到1871年，[[德国]][[数学家]][[康托尔]]第一次提出了实数的严格定义。

== 定义 ==

=== 從有理數构造實數 ===
实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如<math>{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,3.14159...}</math>所定义的序列的方式而构造为有理数的[[完備化]]。實數可以不同方式從[[有理數]]构造出來。这里给出其中一种，其他方法请詳見[[實數的構造]]。

=== 公理化方法 ===
设 <math>\R</math> 是所有实数的[[集合 (数学)|集合]]，则：
* 集合 <math>\R</math> 是一个[[域 (数学)|域]]：可以作[[加法|加]]、[[减法|减]]、[[乘法|乘]]、[[除法|除]]运算，且有如[[交换律]]，[[结合律]]等常见性质。
* 域 <math>\R</math> 是个[[有序域]]，即存在[[全序关系]]<math>\geq</math> ，对所有实数<math>x, y</math>和<math>z</math>：
** 若<math>x \geq  y</math>则<math>x + z \geq  y + z</math>·
** 若<math>x \geq  0</math>且<math>y \geq  0</math>则<math>x y \geq  0</math>
* 集合 <math>\R</math> 满足[[戴德金完备性]]，即任意 <math>\R</math> 的非空子集<math>S (S \subseteq   \R , S \neq  \varnothing)</math>，若<math>S</math>在 <math>\R</math> 内有[[上界]]，那么<math>S</math>在 <math>\R</math> 内有[[上确界]]。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有[[平方]]小于<math>2</math>的有理数的集合存在有理数上界，如<math>1.5</math>；但是不存在有理数上确界（因为<math>\sqrt{2}</math>不是有理数）。

實數通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 <math>\R_{1}</math>和 <math>\R_{2}</math>，存在从 <math>\R_{1}</math>到 <math>\R_{2}</math>的唯一的域[[同構]]，即代數學上兩者可看作是相同。

== 例子 ==
* <math>15</math>（整数）
* <math>2.121</math>（有限小数）
* <math>-1.3333333\ldots</math>（无限循环小数）
* <math>\pi = 3.1415926\ldots</math> （无理数）
* <math>\sqrt{3}</math>（无理数）
* <math>\frac {1}{3}</math> （分数）

== 性质 ==

=== 基本运算 ===
在实数域内，可实现的基本[[运算]]有[[加]]、[[减]]、[[乘]]、[[除]]、[[乘方]]等，对非负数还可以进行[[开方]]运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数；只有非负实数才能开偶次方，其结果还是实数。

=== 连续性或完備性 ===

作为[[度量空間]]或[[一致空間]]，實數集合是一个[[完备空间]]，它有以下性质：

:所有實數的[[柯西序列]]都有一個實數[[极限 (序列)|極限]]。

有理數集合就不是完备空间。例如，<math>(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, \ldots)</math>是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。实际上，它有個實數極限<math>\sqrt{2}</math>。實數是有理數的[[完备化]]：這亦是构造實數集合的一种方法。

=== 完备的有序域（有序性） ===

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

* 首先，有序域可以是[[完备格]]。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素<math>z</math>，<math>z + 1</math>将更大）。所以，这裡的“完备”不是完备格的意思。
* 另外，有序域满足[[戴德金完备性]]，这在上述「公理」中已经定义。上述的唯一性也说明了这裡的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用[[戴德金分割]]来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。
* 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序[[群]]（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有[[完备空间]]的概念。上述「完备性」中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，<math>\R</math>并不是''唯一的''一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的「[[阿基米德域]]」。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。
* “完备的阿基米德域”最早是由[[希尔伯特]]提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了「最大的」阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是<math>\R</math>的子域。这样<math>\R</math>是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用[[超实数 (非标准分析)|超实数]]来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

=== 高级性质 ===

* 实数集是[[不可数]]的，也就是说，实数的个数严格多于[[自然数]]的个数（尽管两者都是[[无穷大]]）。这一点，可以通过[[康托尔对角线方法]]证明。实际上，实数集的[[势 (数学)|势]]为2<sup>''ω''</sup>（请参见[[连续统的势]]），即[[自然数]]集的[[幂集]]的势。由于实数集中只有[[可数集]]个数的元素可能是[[代数数]]，[[绝大多数]]实数是[[超越数]]。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是[[连续统假设]]。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和[[集合论]]的[[策梅洛-弗兰克尔集合论|ZF(ZFC)公理系统]]相互独立。
* 所有非负实数的[[平方根]]属于<math>R</math>，但这对负数不成立。这表明<math>R</math>上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于<math>R</math>。这两个性质使<math>R</math>成为[[实封闭域]]的最主要的实例。证明这一点就是对[[代数基本定理]]的证明的前半部分。
* 实数集拥有一个规范的[[测度]]，即[[勒贝格测度]]。
* 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用[[一阶逻辑]]来刻画实数集：1. [[Löwenheim-Skolem定理]]说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. [[超实数 (非标准分析)|超实数]]的集合远远大于<math>R</math>，但也同样满足和<math>R</math>一样的一阶逻辑命题。满足和<math>R</math>一样的一阶逻辑命题的有序域称为<math>R</math>的[[非标准模型]]。这就是[[非标准分析]]的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在<math>R</math>中证明要简单一些），从而确定这些命题在<math>R</math>中也成立。

=== 拓撲性質 ===
實數集構成一個[[度量空間]]：<math>x</math>和<math>y</math>間的距離定為[[絕對值]] <math>|x - y|</math>。作為一個[[全序集]]，它也具有[[序拓撲]]。這裡，從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是一[[維]]的[[可縮空間]]（所以也是[[連通空間]]）、[[局部緊緻空間]]、[[可分空間]]、{{le|貝爾空間|Baire space}}。但實數集不是[[緊緻空間]]。這些可以通過特定的性質來確定，例如，無限連續可分的[[序拓撲]]必須和實數集[[同胚]]。以下是實數的拓撲性質總覽：
* 令<math>a\;</math>為一實數。<math>a\;</math>的[[鄰域|鄰-{域}-]]是實數集中一個包括一段含有<math>a\;</math>的線段的子集。
* <math>\mathbb R</math>是[[可分空間]]。
* <math>\mathbb Q</math>在<math>\mathbb R</math>中處處稠密。
* <math>\mathbb{R}</math>的[[開集]]是開區間的聯集。
* <math>\mathbb{R}</math>的緊子集等价于有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。
* 每個<math>\mathbb R</math>中的有界序列都有收斂子序列。
* <math>\mathbb R</math>是連通且[[單連通]]的。
* <math>\mathbb R</math>中的連通子集是線段、射線與<math>\mathbb R</math>本身。由此性質可迅速導出[[中間值定理]]。
* 區間套定理：設<math>(F_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>為一個有界閉集的序列，且<math>F_n \supset F_{n+1}</math>，則其交集非空。嚴格表法如下：
::<math>\forall n \in \mathbb N \;\forall m>n \quad F_m\subset F_n\quad \Rightarrow \quad \bigcap_{n \in \mathbb N} F_n\;\ne \varnothing \;</math>.

== 扩展与一般化 ==

实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：

* 最自然的扩展可能就是[[复数 (数学)|复数]]了。复数集是包含了所有[[多项式]]的根的[[代数闭域]]。但是，复数集不是一个[[有序域]]。

* 实数集扩展的有序域是[[超实数 (非标准分析)|超实数]]的集合，包含[[无穷小]]和[[无穷大]]。它不是一个[[阿基米德域]]。

* 有时候，形式元素 +∞和 -∞加入实数集，构成[[扩展的实数轴]]。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。

* [[希尔伯特空间]]的[[自伴随算子]]在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的[[特征值]]都是实数；它们构成一个实[[结合代数]]。

==注释==
{{reflist}}

== 请参阅 ==
* [[有理数]]
* [[无理数]]
* [[虚数]]
* [[复数 (数学)|复数]]
* [[实数系的连续性]]

{{實數}}
{{複數}}
{{數的系統}}
[[Category:實數]]
[[Category:初等数学]]