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|G1 = Math
}}
[[数学]]中，'''实射影空间'''（{{lang|en|real projective space}}），记作 '''RP'''<sup>''n''</sup>，是 '''R'''<sup>''n''+1</sup> 中的直线组成的[[射影空间]]。它是一个 ''n'' 维[[紧空间|紧]][[光滑流形]]，也是[[格拉斯曼流形]]的一个特例。

==构造==
与所有射影空间一样，'''RP'''<sup>''n''</sup> 是通过取 '''R'''<sup>''n''+1</sup> &minus; {0} 在[[等价关系]] ''x'' &sim; &lambda;''x'' 对所有[[实数]] &lambda; &ne; 0 下的[[商空间]]。对所有 ''x'' 属于 '''R'''<sup>''n''+1</sup> &minus; {0}，总可找到一个 &lambda; 使得t &lambda;''x'' 的[[范数]]为 1。恰好有相差一个符号的两个这样的 &lambda;。

故 '''RP'''<sup>''n''</sup> 也可通过将 '''R'''<sup>''n''+1</sup> 中单位 ''n''-维[[球面]] ''S''<sup>''n''</sup> 的[[对径点]]等同起来得到。

进一步我们限制在  ''S''<sup>''n''</sup> 的上半球面，仅将边界赤道上的对径点等同。这说明 '''RP'''<sup>''n''</sup> 闭 ''n''-维圆盘 ''D''<sup>''n''</sup> 将边界 &part;''D''<sup>''n''</sup> = ''S''<sup>''n''&minus;1</sup> 上的对径点等同。

==低维例子==
<math>\mathbf{RP}^1</math> 也成为[[实射影直线]]，[[拓扑]]等价于[[圆周]]。

<math>\mathbf{RP}^2</math> 称为[[实射影平面]]。

<math>\mathbf{RP}^3</math> （[[微分同胚]]）是 ''[[旋转群|SO(3)]]''，从而有一个群结构；覆叠映射 <math>S^3 \to \mathbf{RP}^3</math> 是一个群映射 <math>\operatorname{Spin}(3) \to SO(3)</math>，这里 [[旋量群|''Spin''(3)]]是 ''SO''(3) 的[[万有覆叠空间|万有覆叠]][[李群]]。

==拓扑==
''n''-维球面的对径映射（将 ''x'' 送到 -''x''）生成 ''S''<sup>''n''</sup> 上一个 [[循环群|'''Z'''<sub>2</sub>]] [[群作用]]。上已提到，这个作用的轨道空间是 '''RP'''<sup>''n''</sup>。这个作用恰是一个[[覆叠空间]]作用，使 ''S''<sup>''n''</sup> 成为 '''RP'''<sup>''n''</sup> 的[[二重覆叠]]。因为对  ''n'' &ge; 2，''S''<sup>''n''</sup> 是[[单连通]]的，它们在此情形也是[[万有覆叠]]。从而当  ''n'' > 1 时，'''RP'''<sup>''n''</sup> 的[[基本群]]是 '''Z'''<sub>2</sub>（当 ''n''=1 基本群是 '''Z''' 因为同胚于 ''S''<sup>''1''</sup>）。基本的一个生成元是连接 ''S''<sup>''n''</sup> 中一组对径点的曲线投影到 '''RP'''<sup>''n''</sup> 上的闭曲线。

===点集拓扑===
''n''-维射影空间的一些性质： 

* 1-维射影空间同胚与圆周。

* 2-维射影空间不能嵌入 '''R'''<sup>3</sup>。但可以嵌入 '''R'''<sup>4</sup> 以及[[浸入]] '''R'''<sup>3</sup>。

* ''n''-维射影空间事实上同胚于 '''R'''<sup>(n+1)<sup>2</sup></sup> 中所有迹为 1 的对称 ''(n+1)&times;(n+1)'' [[幂等矩阵|幂等线性变换]]组成的子流形。

* ''n''-维射影空间是紧连通空间，基本群同构于 2 阶循环群（从 ''n''-维球面到 ''n''-维射影空间的商映射是 ''n''-维射影射影空间被一个道路连通空间的二重覆叠）。

===同伦群===

<math>\mathbf{RP}^n</math> 的高次同伦群恰好是 <math>S^n</math> 的高阶同伦群，有[[纤维化 (数学)|纤维化]]的同伦长正合序列得出。

确切地，这个纤维丛是
:<math>\mathbf{Z}/2 \to S^n \to \mathbf{RP}^n.</math>
你也可以类似于[[复射影空间]]将其写成
:<math>S^0 \to S^n \to \mathbf{RP}^n</math>
或
:<math>O(1) \to S^n \to \mathbf{RP}^n.</math>

低次同调群是
:<math>\pi_i \mathbf{RP}^n = \begin{cases}
0 & i = 0\\
\mathbf{Z}/2 & i = 1\\
0 & 1 < i < n\\
\mathbf{Z} & i = n.
\end{cases}</math>

===光滑结构===

实射影空间是[[光滑流形]]。在 ''S<sup>n</sup>'' 的齐次坐标 (''x''<sub>1</sub>...''x''<sub>''n''+1</sub>) 中，考虑子集 ''U<sub>i</sub>'' 使得 ''x<sub>i</sub>'' &ne; 0。每个 ''U<sub>i</sub>'' 同胚于 '''R'''<sup>''n''</sup> 中的开单位球体，且坐标转移函数是光滑的。这给出了 '''RP'''<sup>''n''</sup> 一个[[光滑结构]]。

===CW 结构===

实射影空间 '''RP'''<sup>''n''</sup> 有一个 [[CW复形|CW结构]]，在每一维有 1 个胞腔。

在 ''S<sup>n</sup>'' 上的齐次坐标 (''x''<sub>1</sub> ... ''x''<sub>''n''+1</sub>) 中，坐标邻域 ''U<sub>1</sub>'' = {(''x''<sub>1</sub> ... ''x''<sub>''n''+1</sub>)|''x''<sub>1</sub> &ne; 0} 可与 ''n''-维圆盘 ''D<sup>n</sup>'' 的内部等价。当 ''x<sub>i</sub>'' = 0，我们有 '''RP'''<sup>''n'' - 1</sup>。从而 '''RP'''<sup>''n''</sup> 的 ''n'' - 1 骨架是 '''RP'''<sup>''n'' - 1</sup>，而且黏贴映射 ''f'': ''S''<sup>''n''-1</sup> &rarr; '''RP'''<sup>''n'' - 1</sup> 是一个二对一映射。我们可令

:<math>\mathbf{RP}^n = \mathbf{RP}^{n-1} \cup_f D^n.</math>

归纳证明 '''RP'''<sup>''n''</sup> 是一个 CW 复形，在每一维有 1 个胞腔。

这些胞腔与{{le|旗流形|Generalized flag variety}}上一样是{{le|舒伯特胞腔|Schubert variety}}。这便是，取一个完全[[旗 (线性代数)|旗]]（称为标准旗）0 = ''V''<sub>0</sub> < ''V''<sub>1</sub> <...< ''V<sub>n</sub>''；则闭 ''k''-胞腔是属于 ''V<sub>k</sub>'' 中的直线。而开 ''k''-胞腔（''k''-胞腔的内部）是 ''V<sub>k</sub>''\''V<sub>k-1</sub>'' 中的直线（属于 ''V<sub>k</sub>'' 但不属于 ''V''<sub>''k'' - 1</sub> 的直线）。 

在齐次坐标（关于旗的）中，这些胞腔是
:<math>[*:0:0:\dots:0]</math>
:<math>[*:*:0:\dots:0]</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>[*:*:*:\dots:*].</math>

这不是一个正则 CW 结构，因黏贴映射是二对一的。但它的覆盖是球面上一个正则 CW 结构，在每一维有 2 个胞腔；事实上，这是球面上最小的正则 CW 结构。

在光滑结构的帮助下，[[莫尔斯函数]]的存在性可证明 '''RP'''<sup>''n''</sup> 是一个 CW 复形。在齐次坐标中，这样一个函数可为：
:<math>g(x_1, \cdots, x_{n+1}) = \sum_1 ^{n+1} i \cdot |x_i|^2.</math>
在每个邻域 ''U<sub>i</sub>''，''g'' 有非退化奇点 (0...,1,...0)，这里 1 出现于第 ''i'' 个位置，具有莫尔斯指标 ''i''。这说明了 '''RP'''<sup>''n''</sup> 是一个在每一维有一个胞腔的 CW 复形。

===同调===
与上面 CW 结构相伴的胞腔链复形在每个维数 0,...,''n'' 恰有一个胞腔。对每个维数 ''k''，边界映射 ''d<sub>k</sub>'' : ''δD<sup>k</sup>'' &rarr; '''RP'''<sup>''k''-1</sup>/'''RP'''<sup>''k''-2</sup>，坍塌到 ''S''<sup>''k'' - 1</sup> 上的赤道然后将对径点等同。在奇数（偶数）维，[[映射度|度数]]为 0（2）：

:<math>\mathrm{deg}(d_k) = 1 + (-1)^k.\,</math>

从而整[[胞腔同调|同调]]是
:<math>
H_i(\mathbf{RP}^n) =
\begin{cases}
\mathbf{Z} & i = 0 \mbox{ or } i = n \mbox{ odd,}\\
\mathbf{Z/2Z} & 0<i<n,\ i\ \mbox{odd,}\\
0 & \mbox{else.}
\end{cases}
</math>

===可定向性===

<math>\mathbf{RP}^n</math> 可定向当且仅当 ''n'' 为奇数，上面的同调计算已经做了说明。更具体地，<math>\mathbf{R}^p</math> 上的对径映射有符号 <math>(-1)^p</math>，所以它是保定向的当且仅当 ''p'' 是偶数。从而{{le|定向特征标|Orientation character}}是：<math>\pi_1(\mathbf{RP}^n)</math> 中的非平凡回路作为 <math>(-1)^{n+1}</math> 作用在定向上，所以 <math>\mathbf{RP}^n</math> 可定向当且仅当 ''n+1'' 为偶数，即 ''n'' 为奇数。

===重言丛===

在实射影空间上有一个自然的[[线丛]]，称为[[重言丛]]。更确切地，这称为重言子丛，也存在一个对偶 ''n''-维丛称为重言商丛。

==几何==

实射影空间有一个常正[[数量曲率]]度量，由二重覆叠的标准圆球面（对极映射是一个[[等距]]）得来。

对标准圆度量，其[[截面曲率]]恒等于 1。

===测度===

在标准圆度量中，射影空间的测度恰好是球面测度的一半。

==无穷实射影空间==
无穷实射影空间构造为有限射影空间的[[正向极限]]或并集：
:<math>\mathbb{RP}^\infty := \lim_n \mathbb{RP}^n.</math>

拓扑上说，这是{{le|艾伦伯格-麦克兰恩空间|Eilenberg–MacLane space}}<math>K(\mathbb{Z}/2,1)</math>（它被[[可缩空间|可缩]]的无穷球面 <math>S^\infty</math> 二重覆叠）并且是 [[BO(1)]]，[[线丛]]的[[分类空间]]（更一般地，无穷[[格拉斯曼流形]]是[[向量丛]]的分类空间）。

系数取 '''Z'''/2 的[[上同调环]]是
:<math>H^*(\mathbb{RP}^\infty;\mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2[w_1],</math>
这里 <math>w_1</math> 是第一[[斯蒂弗尔-惠特尼类]]：
它是 <math>w_1</math>（其度数为 1）上的自由 <math>\mathbb{Z}/2</math>-代数。

== 相关条目 ==
*[[复射影空间]]
*[[四元数射影空间]]
*{{le|透镜空间|Lens space}}

[[Category:代数拓扑]]
[[Category:微分几何]]
[[Category:射影几何]]