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{{Unreferenced|time=2017-08-12T06:26:59+00:00}} 
{{Distinguish|科學定律}}
{{Otheruses|定理 (消歧義)}}
'''定理'''（{{lang-en|Theorem}}）是經過受[[邏輯]]限制的[[證明]]為真的[[陈述]]。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是[[數學]]的中心活動。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些<math>a</math>是<math>x</math>，某些<math>a</math>是<math>y</math>，就不能算是定理）。

'''[[猜想]]'''是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做[[命题]]，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。

如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套[[公理]]（[[公理系統]]）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。

在[[命題邏輯]]，所有已證明的敘述都稱為定理。

== 各種數學敘述（按重要性來排列）==
#[[数学原理|數學原理]]
#[[公理]]（也稱公設）－公理是沒有經過[[證明]]，但被當作不證自明的一個[[命题|命題]]。
#'''定理'''
#[[命题|命題]]－通常，命題是一個可以[[證明|判斷]][[真值|真]]或[[逻辑非|假]]的[[陳述句]]，亦有既[[真值|真]]又[[逻辑非|假]]的命題（[[悖论|悖論]]）。
# [[推论|推論]]（也稱系、系理）－一個從定理隨之而即時出現的敘述。若命題B可以很快、簡單地推導出命題A，命題A為命題B的推論。
#[[引理]]（也稱'''輔助定理'''，'''補理'''）－某個定理的證明的一部分的敘述。它並非主要的結果。引理的證明有時還比定理長，例如[[舒尔引理]]。
#[[假说|假說]]－根據已知的[[科学|科學]]事實和科學[[原理]]，對所研究的[[自然]]現象及其[[规律|規律]]性提出的推測和說明。

== 結構 ==
定理一般都有许多[[條件]]。然後有[[結論]]——一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若'''條件'''，則'''結論'''」。用[[符號邏輯]]來寫就是'''條件→結論'''。而當中的證明不視為定理的成分。

== 逆定理 ==
若存在某敘述為<math>A\rightarrow B</math>，其逆敘述就是<math>B\rightarrow A</math>。逆敘述成立的情況是<math>A\leftrightarrow B</math>，否則通常都是倒果為因，不合常理。若果敘述是定理，其成立的逆敘述就是'''逆定理'''。
* 若某敘述和其逆敘述都為真，條件必要且充足。
* 若某敘述為真，其逆敘述為假，條件充足。
* 若某敘述為假，其逆敘述為真，條件必要。

== 逻辑中的定理 ==
逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰
:一个'''定理'''是一个含有由建立于语言集合<math>L</math>上的命题（<math>L</math>-命題）组成的'''非空集合'''。
这个定理（或这个命题集合）我们记作<math>T</math>，这些建立于语言集合<math>L</math>上的命题必须符合如下属性：
:对所有在<math>T</math>中的命题<math>\varphi</math>，如果<math>T\vDash\varphi</math>，那么<math>\varphi\in T</math>。
比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在'''所有'''建立在语言集合<math>L</math>上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理<math>T</math>的'''扩展'''（extension），前提是该定理包含定理<math>T</math>。


有一个命题集合<math>A</math>，我们將一个包含<math>A</math>的集合记作<math>\mbox{Th}(A)</math>，那麽<math>\mbox{Th}(A)=\{\ \varphi\ \ |\ \ A\vDash\varphi\ \}</math> 。显而易见<math>A\vDash\mbox{Th}(A)</math>，所以<math>\mbox{Th}(A)</math>是一个定理。比如我们有一个集合<math>G</math>，<math>G</math>有三个基于语言<math>L</math>上的命题，其中<math>L=\{e,f\}</math>，<math>e</math>是常数符号，<math>f</math>是函数符号。三个命题如下：
:<math>\forall x \forall y \forall z f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))</math>，
:<math>\forall x  f(x,e)=x \land f(e,x)=x</math>，
:<math>\forall x \exist y f(x,y)=e \land f(y,x)=e </math>。
那么如果有<math>\mbox{Th}(G)=\{\ \varphi\ \ |\ \ G\vDash\varphi\ \}</math>，則<math>\mbox{Th}(G)</math>是<math>G</math>的定理。当然，如果<math>A</math>和<math>B</math>是两个命题集合且满足<math>A\subseteq B</math>，那么<math>\mbox{Th}(A)\subseteq\mbox{Th}(B)</math>。


我们说一个定理<math>T</math>是'''完整的'''（Complete），当且仅当对于和<math>T</math>一样构建在同样语言集合上的'''所有'''命题<math>\varphi</math>，要么<math>\varphi\in T</math>，要么<math>\lnot\varphi\in T</math>。
:'''注意：'''这个概念不能和定理<math>T</math>的'''完备性'''（Completude）混淆，完备性是证明在定理<math>T</math>中的永真命题是'''递推可枚举的'''（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。
不是所有的定理是完整的。比如<math>\mbox{Th}(\Phi)</math>一个空集合<math>\{\Phi\}</math>的定理是所有真命题集合，但是<math>\mbox{Th}(\Phi)</math>不是完整的。假如有命題<math>\Psi=\exist x\exist y(x\neq y)</math>，对于<math>\Psi</math>来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说<math>\mbox{Th}(\Phi)\nvDash\Psi</math>且<math>\mbox{Th}(\Phi)\nvDash\lnot\Psi</math>。因此<math>\Psi\notin\mbox{Th}(\Phi)</math>，所以我们说<math>\mbox{Th}(\Phi)</math>不是完整的。
一个定理<math>T</math>称作是'''稳健的'''（Consistante），当且仅当<math>\forall\varphi\in T,\ \lnot\varphi\notin T</math>。我们说对所有的解释（Interpretation）<math>I</math>，<math>\mbox{Th}(I)</math>是一个定理，并且<math>\mbox{Th}(I)</math>既是稳健的又是完整的。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 参见 ==
* [[数学定理列表]]

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{{数理逻辑}}
{{几何术语}}

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[[Category:定理| ]]
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[[Category:证明]]
[[Category:数学术语]]
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