查看“︁定向纏結”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
|G2=物理學
}}
[[File:Spin One-Half (Slow).gif|thumb|空間中的一點可以連續地自旋而不會發生纏結。注意到經過360度的旋轉後，帶狀螺旋體可分為順時針與逆時針兩種定向。在旋轉720度後，回到原來的構形。]]

[[數學]]與[[物理學]]中，'''定向纏結'''（{{lang-en|orientation entanglement}}）被用來提供[[旋量]]幾何的直觀概念或用來展示[[特殊正交群]]無法是[[單連通|單連通的]]。

==概述==
空間向量並不足以完整描述空間中的旋轉。考慮如下的例子：<ref>{{cite book   
  | last = Misner
  | first = Charles W.
  | authorlink = 
  |author2=Kip S. Thorne |author3=John A. Wheeler
  | title = ''Gravitation''
  | publisher = W. H. Freeman
  | year = 1973
  | location = 
  | pages = [https://archive.org/details/gravitation00misn/page/n1173 1148]–1149
  | url = https://archive.org/details/gravitation00misn
  | doi = 
  | id = 
  | isbn = 0-7167-0334-3}}</ref>  

[[File:Rotating_coffee_cup1.svg|thumb|200px|一只咖啡杯，握把與其對側各黏著一條彈性橡皮帶。咖啡杯能以杯碗的中心對稱軸做旋轉。]]
房間中有一只[[咖啡杯]]，握把與對側各黏有一條彈性[[橡皮]]帶，橡皮帶的另一端則固定在房間牆壁上，如此使咖啡杯懸浮著。握把以杯碗的中心對稱軸旋轉了360°，回到原來的位置。注意到雖然杯子看似回到原始的位置定向，但其相對牆壁的定向則發生扭結。若我們將咖啡杯壓低至地板上，兩條橡皮帶將互相纏繞成[[雙螺旋]]狀的一[[匝]]扭轉。此即'''定向纏結'''——透過纏繞的橡皮帶可以得知，咖啡杯在房間中的新定向其實不同於舊的定向。換句話說，咖啡杯的定向與週圍牆壁的定向發生了纏結。

若畫一個向量跨越咖啡杯，而向量箭頭朝向咖啡杯握把。在完整旋轉360°後，向量會跟原來的向量疊合。透過向量本身並無法得知咖啡杯的定向與房間牆壁的定向發生纏結。很顯然，空間向量幾何本身並不足以表示定向纏結（橡皮帶的扭結）。事實上，若不再旋轉咖啡杯，則扭結無法解開。若我們不是360°旋轉咖啡杯，而是720°旋轉咖啡杯；當我們將壓低咖啡杯至地板上，會發現兩條橡皮帶將互相纏繞成[[雙螺旋]]的兩匝扭轉。若將咖啡杯向上挪，通過螺旋中心挪到另一側，則扭結消失不見，橡皮帶不再彼此纏繞。並不需要做額外的旋轉即恢復原狀。

[[File:Spinor_on_the_circle.pdf|thumb|200px|旋量]]
因此，透過附在咖啡杯上的向量，我們無法區分360°旋轉與720°旋轉的差異；若附在咖啡杯上的改為[[旋量]]，則變成可以區分這兩種情形。在此情況下，旋量變得有點像是一種「極化」的向量，其可表示為一個在[[莫比烏斯帶]]上移動的向量。一開始在莫比烏斯帶正面，箭頭朝環帶內；在旋轉360°後，向量移到莫比烏斯帶背面，箭頭朝環帶外。若再轉360°（總和720°），才回到莫比烏斯帶正面，並且箭頭朝環帶內，相應於咖啡杯與橡皮帶的例子。

==數學細節==
三維空間中，上述的例子對應到[[SO(3)]][[李群]]不是[[單連通|單連通的]]。我們可以展示亦是三維[[歐幾里得空間]]中[[旋量群]]的[[特殊么正群|特殊么正群SU(2)]]，其為SO(3)的雙{{le|覆疊群|Covering group}}。若''X'' = (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>)是'''R'''<sup>3</sup>中的向量，則我們可以將''X''表示作具有[[复数 (数学)|複數]]元素的2 &times; 2矩陣
:<math>X=\left(\begin{matrix}x_1&x_2-ix_3\\x_2+ix_3&-x_1\end{matrix}\right)</math>
注意到矩陣[[行列式]]的負值&minus;det(''X'')正是''X''作為向量時的歐幾里得長度平方(''x''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''x''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ''x''<sub>3</sub><sup>2</sup>)，而''X''是[[跡數]]為零的[[厄米矩陣]]。

么正群''M'' ∈ SU(2)作用在''X''：
:<math>X\mapsto MXM^\dagger</math>
因為''M''是么正的，則<math>\rm{det}(MXM^\dagger) = \rm{det}(X)</math>，並且<math>MXM^\dagger</math>為零跡數的厄米矩陣。

==參考資料==
{{reflist}}
* [[理察·費曼|Feynman]], [[羅伯·雷頓|Leighton]], Sands. 《[[費曼物理學講義]]》 3 volumes 1964, 1966. Library of Congress Catalog Card No. 63-20717
*:* ISBN 0-201-02115-3 (1970 paperback three-volume set)
*:* ISBN 0-201-50064-7 (1989 commemorative hardcover three-volume set)
*:* ISBN 0-8053-9045-6 (2006 the definitive edition (2nd printing); hardcover)

==外部連結==
*[http://vimeo.com/62228139 Animation of the Dirac belt trick with two belt attached to a (square) object, showing orientation entanglement after one turn, and lack of entanglement after two turns. The animation thus also shows that belted objects behave as spin 1/2 particles.]{{Wayback|url=http://vimeo.com/62228139 |date=20150104155202 }}
*[https://web.archive.org/web/20150402173441/https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/dirac.html Air on the Dirac Strings, showing orientation entanglement with several belts attached to a spherical particle, by Louis Kauffman and colleagues]
*[https://web.archive.org/web/20140223115823/http://antitwister.area24.net/DiracStringTrick.htm Dirac String Trick]

[[Category:旋量]]
[[Category:李群]]