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在[[数学]]裡，术语'''定义良好'''（定义良好的 {{lang|en|well-defined}}，名词 {{lang|en|well-definition}}）用于确认用一组基本[[公理]]以数学或逻辑的方式定义的某个概念或对象（一个[[函数]]，[[性质]]，[[关系 (数学)|关系]]，等等）是完全无歧义的，满足它必需满足的那些性质。通常定义是无歧义地表述，明白地满足它们所需的性质。但有时候，使用任意选择的方式来陈述定义是合理的，这时我们便要验证定义与选择无关。另一种情形，所需的性质可能不都是显然的，这时要验证它们。这些问题通常来自函数的定义。

譬如，在[[群论]]中，术语“定义良好”经常用于处理[[陪集]]时，陪集空间上的函数经常选取一个代表来定义：这时非常重要的是验证无论选取陪集的哪个代表，就像算术运算一样（比如，<math>2</math>加<math>3</math>总是<math>5</math>）我们总得到同样的结果。
<math>f(x_{1})=f(x_{2}) </math>只要 <math>x_{1}\sim x_{2}</math>，则定义有意义，从而 <math>f</math> 在 <math>X/\sim </math> 上定义良好。函数在 <math>X/\sim </math> 上有不同[[定义域]]，应该视为不同的映射 <math>\tilde{f}</math>，尽管这种差别通常被忽略。以这种观点来看，我们说 <math>\tilde{f}</math> 是定义良好的如果[[图表交换]]，即 <math>f</math> 穿过 <math>\pi</math> ，使得<math>f=\tilde{f}\circ\pi</math>，这里 <math>\pi </math> 是典范投影映射 <math>X \rightarrow  X/\sim</math> 。

作为一个例子，考虑[[实数]]如下定义的等价关系：<math>\theta _{1}\sim \theta _{2}</math> 如果存在整数 <math>n</math> 使得<math>\theta _{1}-\theta _{2} = 2\pi n</math>，这里 <math>\pi </math> 为[[圆周率]]。[[商集]] <math>X/\sim </math> 可以和一个圆周等价，作为等价类 <math>[\theta ]</math> 表示一个角度（事实上这是 <math>\mathbb{R}</math> 的加法子群 <math>2\pi \mathbb{Z}</math> 的陪集空间 <math>\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}</math>）。现在如果 <math>f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> 是[[正弦函数]]，则 <math>\tilde{f}([\theta])=\cos\theta</math> 是定义良好的；但是如果 <math>f(\theta ) = \theta</math>  则 <math>\tilde{f}([\theta])=\theta</math> 不是定义良好的。

“定义良好”的另外两个问题发生在定义从一个集合 <math>X</math> 到集合 <math>Y</math> 的函数时。首先，<math>f</math> 需定义在 <math>X</math> 的所有元素上。譬如，函数 <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> 不是从实数到自身定义良好的函数，因为 <math>f(0)</math> 没有定义。第二，对任何 <math>x \in X</math> 需有 <math>f(x)</math> 是 <math>Y</math> 中的元素。譬如，函数 <math>f(x)=x^2</math> 不是从实数到正实数定义良好的函数，因为 <math>f(0)</math> 不是正数。

一个集合是定义良好的，任何给定的对象要么是、要么不是这个集合的对象。

== 另见 ==
* [[存在性]]
* [[唯一性]]
* [[定义的与未定义的]]
* [[唯一量化]]

[[Category:数学术语|D]]