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在[[拓扑学|拓樸學]]中，一個[[拓扑空间|拓樸空間]]的子集是'''完美的'''若且唯若他是[[闭集|閉集]]且沒有[[孤点|孤立點]]。等價地說，一個集合<math>S</math>是完美的若且唯若<math>S=S'</math>，其中<math>S'</math>是所有<math>S</math>的[[极限点|極限點]]的集合（又稱為<math>S</math>的[[导集|導集]]）。

在完美集中，每個點都可以被該集合中其他的點隨意逼近。也就是說，給定<math>S</math>中的任意一點和該點的一個[[邻域|鄰域]]，總會存在另一個<math>S</math>中的點，也落在該鄰域內。

== 例子 ==
以下[[實數線]]的子集皆為完美集：[[空集]]、[[閉區間]]、實數線本身、以及[[康托尔集|康托爾集]]。其中康托爾集特別的是[[完全不连通空间|完全不連通]]的。

== 與其他拓樸性質的關連 ==
[[格奥尔格·康托尔|康托爾]]證明了實數的閉子集可以被唯一的分解為一個完美集和一個可數集的不交並。[[Cantor-Bendixson定理]]則將該性質推廣至[[波蘭空間]]的閉子集。

康托爾還證明了實數線的非空完美集的[[基数 (数学)|基數]]是<math>2^{\aleph_0}</math>，也就是[[连续统的势|連續統的勢]]。這些結果還可以擴展到[[描述集合論]]中：
* 若<math>X</math>是[[完备度量空间|完備度量空間]]且沒有孤立點，則康托爾空間<math>2^\omega</math>可以被連續地[[嵌入 (数学)|嵌入]]<math>X</math>中，因此<math>X</math>的基數至少為<math>2^{\aleph_0}</math>。若<math>X</math>是[[可分空间|可分]]、完備度量空間且沒有孤立點，則<math>X</math>的基數恰好為<math>2^{\aleph_0}</math>。
* 若<math>X</math>是[[局部緊緻]][[豪斯多夫空间|郝斯多夫空間]]且沒有孤立點，則存在一個從康托爾空間映射到<math>X</math>的[[单射|單射函數]]（不一定是連續的），因此<math>X</math>的基數至少為<math>2^{\aleph_0}</math>。

== 參見 ==
* [[有限交集性质|有限交集性質]]
* [[相對化拓撲]]

== 參考文獻 ==
* {{Citation|title=Classical Descriptive Set Theory|year=1995|last1=Kechris|first1=A. S.|author1-link=Alexander S. Kechris|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=3540943749}}
* {{Citation|title=Basic Set Theory|year=1979|last1=Levy|first1=A.|author1-link=Azriel Levy|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]}}
* {{Citation|title=Open problems in topology. II|year=2007|author=edited by Elliott Pearl.|publisher=[[Elsevier]]|editor1-last=Pearl|editor1-first=Elliott|isbn=978-0-444-52208-5|mr=2367385}}

[[Category:拓扑学]]