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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Euler_brick.svg|right|Euler brick with edges a,b,c and face diagonals d,e,f]]

'''完美長方體'''，又稱'''完美盒'''，指任意两顶点之间的距离（即[[棱長]]、[[面對角線]]和[[體對角線]]）都是整數的長方體。

求完美長方體的棱長，即求下列方程組之正整數解：
: <math>a^2 + b^2 = d^2</math>
: <math>b^2 + c^2 = f^2</math>
: <math>c^2 + a^2 = e^2</math>
: <math>a^2 + b^2 + c^2 = g^2</math>
<span style="font-size:smaller;">注：a、b、c是棱長，d、e、f是面對角線長，g是體對角線長。</span>

它相当于在[[欧拉长方体]]问题上再添上了最后的这个条件。

{{unsolved|數學|完美長方體存在嗎？}}

截至2015年5月，還沒有找到任何完美長方體，亦未有人证明完美长方体不存在。經由電腦搜尋顯示，若存在完美長方體，其中一個邊長需大於3·10<sup>12</sup><ref>Durango Bill. [http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html The “Integer Brick” Problem] {{Wayback|url=http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html |date=20070830031033 }}</ref><ref>{{cite mathworld|urlname=PerfectCuboid|title=Perfect Cuboid}}</ref>，且最小邊長需大於10<sup>10</sup><ref>Randall Rathbun, [https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;c78f3c94.1011 Perfect Cuboid search to 1e10 completed - none found]. NMBRTHRY maillist, November 28, 2010.</ref>。現時只找到一些接近完美盒，例如其中一邊是無理數，其他邊和對角線均為整數的例子，如：
棱長分別為672、153與104，其面對角線分別為<math>3 \sqrt{52777}</math>、680與185，體對角線為697。

另外，亦有面、體對角線均為整數，但棱長只有兩個是整數，另一條是無理數的例子。如：

棱長為18720、<math>\sqrt{211773121}</math>與7800這個例子。

==完美平行六面體==
一個完美[[平行六面體]]為邊長、面對角線長及體對角線長皆為整數的平行六面體。平行六面體的角度不需要是整數，故完美長方體可視為完美平行六面體的特例。在2009年發現了數十個完美平行六面體的例子。<ref>{{Cite journal|first1=Jorge F.|last1=Sawyer|first2=Clifford A.|last2=Reiter|year=2011|title=Perfect parallelepipeds exist|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=80|pages=1037–1040|arxiv=0907.0220|doi=10.1090/s0025-5718-2010-02400-7}}.</ref>

==相关条目==
*[[歐拉長方體]]
*[[黃金矩形]]

==参考文献==
<div class="references-small">
<references />
*[http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html Durango Bill's The “Integer Brick” Problem]{{Wayback|url=http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html |date=20070830031033 }}
*Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html  "Perfect Cuboid"]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html |date=20071127124422 }} From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 
</div>
{{polyhedron-stub}}

[[Category:丢番图方程]]
[[Category:多面体]]
[[Category:数学中未解决的问题]]