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{{NoteTA|G1=物理學}}
在[[經典力學]]裏，假若一個系統的所有的[[約束 (經典力學)|約束條件]]都是'''完整約束'''，則稱此系統為'''完整系統'''（{{lang|en|holonomic system}}）。完整約束以方程式表達為
: <math> f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_N,\ t)=0</math>；
其中，<math>x_i</math>是每一個粒子<math>P_i</math>之位置，<math>t</math>是時間。

假若一個約束條件不能夠以上述方程式表達，則稱此約束條件為[[非完整系統|非完整約束]]。

假若一個系統有任何約束條件不是完整約束，則稱此系統為'''非完整系統'''。

==轉換至廣義坐標==
完整約束方程式只跟位置、時間有關，跟速度無關。完整約束方程式可以幫助消除相關的變量。假設變量<math>x_d</math>是完整約束函數<math>f_i</math>的一個參數，則可以將<math>x_d</math>從系統裏所有的方程式中消除。首先，必須求出<math>x_d</math>的函數<math>g_i</math>：

:<math>x_d=g_i(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots,\ x_N,\ t)</math>。

將函數<math>g_i</math>代入系統裏所有提到<math>x_d</math>的方程式，就可以消除相關變量<math>x_d</math>。

假設一個物理系統原本的[[自由度 (物理學)|自由度]]是<math>N</math>。現在，新設定<math>h</math>個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為<math>m=N - h</math>。可以使用<math>m</math>個獨立[[廣義坐標]]<math>(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m)</math>來描述這系統的運動。廣義坐標的轉換方程式為
:<math>x_i=x_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N</math>。

==微分形式==
有些時候，一個物理系統的某約束條件會以微分形式的方程式來表示，而不是以上述函數形式。思考第<math>i</math>個約束條件的微分形式的方程式：
:<math>\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0</math>；

其中，<math>c_{ij}</math>，<math>c_{i}</math>分別為微分<math>dq_j</math>與<math>dt</math>的係數。

假若此約束方程式是可積分的，也就是說，存在有一個函數<math>f_i(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ t)=0</math>的[[全微分]]滿足相等關係式
:<math>df_i=\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0</math>，

則此約束條件是完整約束；否則，此約束條件是非完整約束。請注意到，所有的完整約束和某些非完整約束都可以表示為微分形式的方程式；但是，並不是所有的非完整約束都可以這樣表示。跟[[廣義速度]]有關的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束條件的微分形式的方程式，這約束條件到底是完整約束，還是非完整約束，需要看其微分形式的方程式是否可積分來決定。

==系統分類==
為了要有條不紊地研究經典力學，必須有一個合理的分類制度。物理系統可以分類為完整系統與非完整系統。許多理論或方程式成立的條件之一，就是系統裏所有的約束都必須是完整約束。例如，假若一個物理系統是完整系統與[[單演系統]]，則[[拉格朗日方程式]]成立的必需與足夠的條件是[[哈密頓原理]]<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 35}}</ref>。

==實例==
[[File:SimplePendulum01.svg|thumb|200px|簡單擺]]
一個[[單擺|簡單擺]]的擺錘遵守完整約束
: <math> \sqrt{x^2+y^2} - L=0</math>；
其中，<math>(x,\ y)</math>是擺錘的位置，<math>L</math>是擺長。

[[剛體]]內部的粒子們遵守完整約束
:<math>(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)^2 - L_{ij}^2=0</math>；

其中，<math>\mathbf{r}_i</math> , <math>\mathbf{r}_j</math>分別是粒子<math>P_i</math>與<math>P_j</math>的位置，<math>L_{ij}</math>是它們之間的距離。

==參閱==
*[[拉格朗日力學]]
*[[哈密頓力學]]
*[[非完整系統]]
*[[定常系統]]
*[[單演系統]]
*[[保守系統]]

==參考文獻==
{{reflist}}
{{DEFAULTSORT:W}}
[[Category:力學]]
[[Category:經典力學]]
[[Category:拉格朗日力學]]
[[Category:哈密頓力學]]
[[Category:物理学系统]]

[[fr:Contrainte holonome]]