查看“︁完备性”︁的源代码

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在[[数学]]及其相关领域中，一个对象具有'''完备性'''（{{lang-en|Completeness}}），即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为'''完备的'''或'''完全的'''。更精确地，可以从多个不同的角度来描述这个定义，同时可以引入'''完备化'''这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考[[代数闭域]]、[[紧化]]或[[哥德尔不完备定理]]。

* 一个[[度量空间]]或[[一致空间]]被称为“完备的”，如果其中的任何[[柯西列]]都[[收敛]]，请参看[[完备空间]]。

* 在[[泛函分析]]中，一个[[拓扑向量空间]]<math>V</math>的[[子集]]<math>S</math>被称为是''完全的''，如果<math>S</math>的扩张在<math>V</math>中是稠密的。如果<math>V</math>是[[可分空间]]，那么也可以导出<math>V</math>中的任何向量都可以被写成<math>S</math>中元素的（有限或无限的）[[线性组合]]。更特殊地，在[[希尔伯特空间]]中（或者略一般地，在[[线性内积空间]]（{{lang|en|inner product space}}）中），一组[[标准正交基]]就是一个完全而且[[正交]]的集合。

* 一个[[测度空间]]是''完全的''，如果它的任何[[零测集]]（{{lang|en|null set}}）的任何[[子集]]都是可测的。请查看[[完全测度空间]]（{{lang|en|complete measure}}）。

* 在[[统计学]]中，一个[[统计量]]被称[[完全性 (统计学)|-{zh-cn:完全的;zh-tw:完備的;}-]]，如果不存在由其构造的非平凡的0的[[无偏估计量]]（{{lang|en|estimator}}）。

* 在[[图论]]中，一个[[图_(数学)|图]]被称为''完全的''，如果这个图是[[图|无向图]]，并且任何两个[[顶点_(图论)|顶点]]之间都恰有一条边连接。

* 在[[范畴论]]，一个范畴<math>C</math>被称为''完备的''，如果任何一个从小范畴到<math>C</math>的[[函子]]都有[[极限]]。而它被称为''上完备的''，如果任何函子都有一个[[上极限]]。请查看范畴论中的极限定义。

* 在[[序理论]]和相关的领域中，如[[格 (数学)|格]]和[[畴]]（[[域理论]]）中，''全序性''（{{lang|en|completeness}}）一般是指对于[[偏序集]]存在某个特定的[[上确界]]或[[下确界]]。值得特别注意的是，这个概念在特定的情况下也应用于[[完全布尔代数]]，[[完全格]]和[[完全偏序]]。并且一个[[有序域]]被称为''完全的''，如果它的任何在这个域中有[[上界]]的[[非空]][[子集]]，都有一个在这个域中的[[最小上界]]；注意这个定义与序理论中的[[完全有界性]]（{{lang|en|bounded complete}}）有细小的差别。在[[同构]]的意义下，有且仅有一个完全有序域，即[[实数]]。

* 在[[数理逻辑]]，一个[[理论]]被称为''完备的''，如果对于其[[形式語言|語言]]中的任何一个[[句子 (数理逻辑)|句子]]<math>S</math>，这个理论包括且仅包括<math>S</math>或<math>\neg S</math>。一个系统是''相容的''，如果不存在同时<math>P</math>和非<math>P</math>的证明。[[哥德尔不完备定理]]证明了，包含[[皮亚诺公理]]的所有公理系统都是不可能既完备又-{相容}-的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。

* 在[[证明论]]和相关的[[数理逻辑]]的领域中，一个形式的[[演算]]相对于一个特定的逻辑（即相对于它的[[语义]]）是''完备的''，如果任何由一组前提<math>Q</math>根据语义导出的陈述<math>P</math>，都可以从这组前提出发利用这个演算[[证明论|语法地]]导出。形式地说，<math>G \models P</math><!-- ''G''|=''P'' -->导出<math> G \vdash P </math> <!-- ''G''|-''P'' -->。[[一阶逻辑]]在这个意义下是完备的。特别地，所有逻辑的[[重言式]]都可以被证明。即使在经典逻辑中，这与前述的完备性是不同的（即一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式）。相反的概念被称为[[可靠性]]（{{lang|en|soundness}}）。

* 在[[计算复杂度理论]]中，一个问题<math>P</math>对于一个复杂度类<math>C</math>，在某个给定类型的归约下是''完全的''（[[完備 (複雜度)]]），如果<math>P</math>在<math>C</math>中，并且<math>C</math>中的任何问题利用该归约都可以化归到<math>P</math>。例如，[[P/NP问题|NP完全问题]]在[[P/NP问题|NP]]类和[[多项式时间]]和多对一归约的意义下是完全的。

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[[Category:數理邏輯]]
[[Category:证明论]]