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在[[拓扑学]]中，'''完全豪斯多夫空间'''或 '''Urysohn 空间'''是满足比熟知的[[豪斯多夫空间]]更强些的[[分离公理]]的一类[[拓扑空间]]。

== 定义 ==

假定 ''X'' 是[[拓扑空间]]。设 ''x'' 和 ''y'' 是 ''X'' 中的点。
*我们称 ''x'' 和 ''y'' 可以[[分离集合|由闭邻域分离]]，如果存在 ''x'' 的[[闭集|闭]][[邻域]] ''U'' 和 ''y'' 的闭邻域 ''V'' 使得 ''U'' 和 ''V'' 是[[不交集|不相交]]的 (''U'' ∩ ''V'' = ∅)。(注意 ''x'' 的闭邻域是包含含有 ''x'' 的[[开集]]的[[闭集]]。)
*我们称 ''x'' 和 ''y'' 可以[[分离集合|由函数分离]]，如果存在[[连续函数 (拓扑学)|连续函数]] ''f'' : ''X'' → [0,1] ([[单位区间]]) 带有 ''f''(''x'') = 0 和 ''f''(''y'') = 1。

'''Urysohn 空间'''或 '''T<sub>2&frac12;</sub> 空间'''是其中任何两个独特的点都可由闭邻域分离的空间。

'''完全豪斯多夫空间'''或'''函数豪斯多夫空间'''是其中任何两个独特的点都可由函数分离的空间。

== 命名约定 ==

分离公理研究因为命名约定混乱而声名狼籍。本文使用的定义是 Willard (1970)给出的更现代的定义。Steen 和 Seebach (1970)和不同的其他作者反转了完全豪斯多夫空间和 Urysohn 空间的定义，拓扑学课本的读者必须确保检查作者的定义。详情可参见[[分离公理的历史]]。

== 与其他分离公理的联系 ==

容易实习证实可以由函数分离的任何两个点也可以被闭邻域分离。如果它们可以由闭邻域分离则明显的它们可以由邻域分离。这得出了所有完全豪斯多夫空间是 Urysohn 空间而所有 Urysohn 空间是[[豪斯多夫空间]]。

还可以证明所有[[正则豪斯多夫空间]]是 Urysohn 空间，而所有[[吉洪诺夫空间]](完全正则豪斯多夫空间)是完全豪斯多夫空间。这可总结为下列蕴涵:
<center>
{| style="text-align: center;"
|-
| [[吉洪诺夫空间|吉洪诺夫]] (T<sub>3&frac12;</sub>) || &nbsp;<math>\Rightarrow</math>&nbsp;
| [[正则空间|正则豪斯多夫]] (T<sub>3</sub>) 
|-
|<math>\Downarrow</math> || || <math>\Downarrow</math>
|-
| 完全豪斯多夫 || &nbsp;<math>\Rightarrow</math>&nbsp;
| Urysohn (T<sub>2&frac12;</sub>) || &nbsp;<math>\Rightarrow</math>&nbsp;
| [[豪斯多夫空间|豪斯多夫]] (T<sub>2</sub>) || &nbsp;<math>\Rightarrow</math>&nbsp;
| [[T1空间|T<sub>1</sub>]]
|}
</center>
你可以找到反例证明这些蕴涵都是不可反转的<ref>{{planetmath reference|id=5718|title=Hausdorff space not completely Hausdorff|urlname=hausdorffspacenotcompletelyhausdorff}}</ref>。

== 例子 ==

[[余可数扩张拓扑]]是在实直线上的拓扑，由平常[[欧几里德拓扑]]和[[余可数拓扑]]的并集生成。集合是这个拓扑中的[[开集]]，当且仅当他们有形式 ''U'' \ ''A''，这里的 ''U'' 是有欧几里德拓扑中的开集而 ''A'' 是[[可数集合|可数]]的。这个空间是完全豪斯多夫和 Urysohn 的，但不是正则的(因此不是吉洪诺夫的)。

有是豪斯多夫但不是 Urysohn，是 Urysohn 但不是完全豪斯多夫或正则豪斯多夫的空间的晦涩的例子。详情可参见 Steen 与 Seebach。

== 引用 ==
<references/>
*Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., ''[[Counterexamples in Topology]]''. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
*Stephen Willard, ''General Topology'', Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
*{{planetmath reference|id=5717|title=Completely Hausdorff|urlname=completelyhausdorff}}

{{点集拓扑}}
[[Category:分离公理]]