查看“︁完全格”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2024-03-12T15:38:06+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = IT
|G2 = Math
|1 = zh-cn:并; zh-tw:接; zh-hk:併;
}}
'''完全格'''又稱'''完備格'''，（{{lang-en|complete lattice}}），在[[数学]]中是代表所有子集都有[[上确界]]（并）和[[下确界]]（交）的[[偏序集]]。完全格出现于数学和[[计算机科学]]的很多应用中。作为[[格 (数学)|格]]的特殊实例，在[[序理论]]和[[泛代数]]中都有所研究。

完全格一定不能混淆于[[完全偏序]]（''cpo''），它构成严格的更加一般的一个偏序集合类别。更特殊的完全格是[[完全布尔代数]]和[[完全海廷代数]]（''locale''）。

== 形式定义 ==

[[偏序集合]](''L'', ≤)是完全格，如果''L''的所有[[子集]]''A''在(''L'', ≤)中都有[[最大下界]]（下确界，交）和[[最小上界]]（上确界，并）二者。它们被表示为：
: <math>\bigwedge</math>''A''（交）和<math>\bigvee</math>''A''（并）。

注意在''A''是[[空集]]的特殊情况下，L的任何元素都是空集的上界和下界，''A''的交将是''L''的[[最大元素]]。类似的，空集的并生成[[最小元素]]。因为定义还确保了二元交和并的存在，完全格因为形成了特殊种类的[[有界格]]。

上述定义的更多蕴涵在关于序理论中[[完备性 (序理论)|完备性性质]]的文章中讨论。

== 例子 ==
* 给定集合的[[幂集]]，按[[子集|包含]]排序。上确界给出自这些子集的[[并集]]而下确界给出自这些子集的[[交集]]。
* [[区间|单位区间]][0,1]和[[扩展的实数轴]]，通过平常的全序和普通的[[上确界]]和[[下确界]]。实际上，全序集合（带有它的[[序拓扑]]）作为[[拓扑空间]]是[[紧致空间|紧致的]]，如果它作为一个格是完全的。
* 非负[[整数]]按[[整除]]排序。这个格最小元是1，因为它可以整除任何其他数。可能令人惊奇的是，最大元是0，因为它可以被任何数整除。有限集合的上确界给出自[[最小公倍數]]而下确界给出自[[最大公约数]]。对于无限集合，上确界将总是0而下确界可以大于1。例如，所有偶数的集合有2作为最大公约数。如果从这个结构中去掉0它仍是格但不再是完全的。
*任何给定群的子群在包含关系下。（尽管这里的[[下确界]]是平常的集合论交集，但子群的集合的[[上确界]]是子群的集合论并集所生成的子群，而不是集合论并集自身）。如果''e''是''G''的单位元，则平凡的群{''e''}是''G''的[[极小元|极小]]子群。而[[极大元|极大]]子群是群''G''自身。
* [[模]]的子模按包含排序。上确界给出自子模的和而下确界给出自交集。
* 环的[[理想子环]]按包含排序。上确界给出自理想子环的和而下确界给出自交集。 
* [[拓扑空间]]的开集按包含排序。上确界给出自开集的并而下确界给出自交集的[[内部 (数学)|内部]]。
* [[实数]]或[[复数 (数学)|复数]]的[[向量空间]]的[[凸集]]按包含排序。下确界给出自凸集的交集而上确界给出自并集的[[凸包]]。
* 在集合上[[拓扑空间|拓扑]]按包含排序。下确界给出自拓扑的交集，而上确界给出自拓扑的并集所生成的拓扑。
* 在集合上的所有[[传递关系]]的格。
* [[多重集]]的子多重集的格。
* 在集合上的所有[[等价关系]]的格；等价关系~被认为比≈更小（或"更细"），如果''x''~''y''总是蕴涵''x''≈''y''。

== 参见 ==
*[[完全布尔代数]]
*[[完全Heyting代数]]

[[Category:格理论|U]]