查看“︁完全平方”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}

{{Expand|time=2013-02-14T05:17:42+00:00 }}
在[[数学]]中，'''完全平方'''有两个含义：
* 一个完全平方是可以表示成另一个整数的平方的正整数，也就是说，这个正整数可以写成''n''<sup>2</sup>的形式，其中''n''是整数。 
** 例如:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 参见[[平方数]]。
完全平方可以分解為如下數式:
1=1×1=1²,
4=2×2=2²,
9=3×3=3²...等

* 可以分解成其它表达式的平方的算数表达式(稱為因式分解)，例如：(''a'' &plusmn; ''b'')<sup>2</sup> =''a''<sup>2</sup> &plusmn; 2''ab'' + ''b''<sup>2</sup> 。（参见[[和平方]]或[[差平方]]或[[平方]]）

==用[[平方差]]代替整数相乘==

整数相乘可以完全的写成两个平方的差。

例如：
* <math>10\times 10 = (10+0)\times (10-0) = 10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100</math>
* <math> 9\times 11 = (10-1)\times (10+1) = 10^2 - 1^2 = 100 - 1 = 99</math>
* <math> 8\times 12 = (10-2)\times (10+2) = 10^2 - 2^2 = 100 - 4 = 96</math>
* <math> 7\times 13 = (10-3)\times (10+3) = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91</math>

一般的，两个数的乘积等于这两个数和的平均值的平方减差的平均值的平方。

* <math>A\times B = \left(\frac{A+B}{2}\right)^2 - \left(\frac{A-B}{2}\right)^2</math>

在[[速算]]时，运用这个关系式，两个接近的大数的乘法可以转换成平方的减法。这样只要记住相对来说比较少的平方数表，就可以快捷地计算乘积。

如果<math>A</math>与<math>B</math>一奇一偶，为了避免出现所谓的“[[半整数]]”，可以运用以下技巧：
* <math>A\times B = A\times (B-1) + A</math>

例子:
* <math>27\times 34 = (27\times  33) + 27 = \left(30^2 - 3^2\right) + 27 = 900 - 9 + 27 = 918</math>



[[Category:初等代数|U]]