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在[[数学]]中，'''完全布尔代数'''是所有[[子集]]都有[[上确界]]的[[布尔代数]]。完全布尔代数在[[力迫 (数学)|力迫]]理论中有重要作用。任何布尔代数''A''都有一''A''是其子代数的最小的完全布尔代数。作为[[偏序集合]]，这种 ''A'' 的补全叫做[[戴德金补全]]。

==例子==
所有[[有限集合|有限]]布尔代数都是完全的。

给定集合的[[集合代数|子集的代数]]是完全布尔代数。

对应于任何[[拓扑空间]]的[[正规开代数]]都是完全布尔代数。这个例子特别重要，因为所有力迫[[偏序集合]]都可以被认为是一个拓扑空间(给由是小于等于给定元素的所有元素的集合的那些集合组成的拓扑的[[基 (拓扑学)|基]])。对应的正规开代数可以用来形成等价于通过给定力迫偏序集合的[[一般扩展]]的[[布尔值模型]]。

==反例==
作为不完全的布尔代数的一个例子，考虑[[自然数]]的所有集合的搜集，并忽略有限差。结果的对象指示为 [[P(ω)/Fin]]，由自然数的集合的所有[[等价类]]组成，这里有关的[[等价关系]]是两个自然数的集合是等价的，如果它们的[[对称差]]是有限的。类似的定义布尔运算，例如，如果 ''A'' 和 ''B'' 是在 P(ω)/Fin 中的两个等价类，我们定义 <math>A\land B</math> 是 <math>a\cap b</math> 的等价类，这里的 ''a'' 和 ''b'' 分别是 ''A'' 和 ''B'' 某个(任何)元素。

现在设 a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>,... 是自然数的逐对不相交无限集合，并设 ''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub>,... 是它们在 P(ω)/Fin 中对应的等价类。则给定 ''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub>,... 在 P(ω)/Fin 中的任何上界 ''X''，我们可以找到一个更小的上界，通过从 ''X'' 的一个代表去除每个 ''a''<sub>''n''</sub> 的一个元素。所以 ''A''<sub>''n''</sub> 没有上确界。

==参见==

* [[完全格]]

[[Category:布尔代数|U]]