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在數學的[[群論]]中，'''完備群'''（又稱'''[[完全群]]'''，不過完全群也可以指[[完滿群|另一種群]]<ref>完全群的兩種意思是因兩岸譯名差異而起，列表如下：
{|class="wikitable"
!大陸譯名!!台灣譯名!!英語
|-
|完全群||完備群||complete group
|-
|[[完滿群]]||[[完滿群|完全群]]||perfect group
|}</ref>）是指如下的一種[[群]]''G''：''G''是無[[中心 (群論)|中心]]群，並且''G''的所有[[自同構]]都是[[內自同構]]，也就是說''G''有平凡[[外自同構群]]和平凡[[中心 (群論)|中心]]。另一等價定義是將元素<math>g\in G</math>映射到[[自同構]]<math>x\mapsto gxg^{-1}</math>的[[群同態]]<math>G\to \operatorname{Aut}(G)</math>是[[群同構]]。因為此群同態的[[核 (代數)|核]]是''G''的中心，而其像是''G''的所有內自同構；所以''G''有平凡中心，則此群同態是[[單射]]，而所有自同構都是內自同構，則此群同態是[[滿射]]。

==例子==
[[對稱群 (n次對稱群)|對稱群]]<math>S_n</math>除了''n''=2,6外，都是完備群。<math>S_2</math>有非平凡中心，而<math>S_6</math>有一個[[外自同構群|外自同構]]（與[[內自同構]][[複合函數|複合]]之異不別）。

==性質==
任何完備群都同構於其自同構群。注意其逆命題不成立：有8個元素的[[二面體群]]同構於其自同構群，這個群卻不是完備群。

==註釋==
{{reflist}}

==參考==
*{{Citation | last1=Robinson | first1=Derek John Scott | title=A course in the theory of groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94461-6 | year=1996}}
* {{Citation | last1=Rotman | first1=Joseph J. | title=An introduction to the theory of groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94285-8 | year=1994}} (chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).


{{代數小作品}}
[[Category:群的性質]]