查看“︁完備化 (環論)”︁的源代码

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在[[交換代數]]中，可以探討一個交換環 <math>R</math> 本身，或一個 <math>R</math>-模對一[[理想 (環論)|理想]] <math>I \subset R</math> 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質，'''完備化'''是研究[[交換環]]的基本工具。

幾何上，交換環的完備化對應到一個閉子[[概形]]的[[形式事概形|形式鄰域]]。

== ''I''-進拓撲 ==
對於一個交換環 <math>R</math> 及其理想 <math>I</math>（通常取為[[極大理想]]），可以藉著取 <math>I^n \; (n  \in \N)</math> 為零元素的開鄰域，賦予 <math>R</math> 相應的拓撲結構，使之成為對加法的[[拓撲群]]。這種拓撲稱為 '''<math>I</math>-進拓撲'''。

對於一個 <math>R</math>-模 <math>M</math>，同樣可考慮零元素的開鄰域 <math>I^n M</math>，由此得到 <math>M</math> 上的 <math>I</math>-進拓撲。

==完備化及其性質==
模 <math>M</math> 對 <math>I \subset R</math> 的'''完備化'''定義為[[極限 (範疇論)|射影極限]]：

: <math>\hat{M} := \varprojlim_n M/I^n M</math>

正如其名，<math>\hat{M}</math> 對其 <math>I</math>-進拓撲是[[完備性|完備]]的。對於固定的 <math>I \subset R</math>，<math>M \mapsto \hat{M}</math> 是從 <math>R</math>-模範疇（態射為模同態）到 <math>I</math>-進拓撲 <math>R</math>-模（態射為連續同態）的[[函子]]；透過自然同態 <math>M \to \hat{M}</math>，它是與之反向的遺忘函子的左[[伴隨函子]]，因而是[[正合函子|右正合]]的。

對於[[諾特環]]，<math>\hat{R}</math> 是[[平坦模|平坦]]的 <math>R</math>-模。此時，對任何有限生成 <math>R</math>-模 <math>M</math>，自然態射 <math>\hat{M} \to M \otimes_R \hat{R}</math> 是個同構。綜上所述，對於諾特環 <math>R</math>上的有限生成 <math>R</math>-模，完備化是個[[正合函子]]。

此外，完備化也可以用[[柯西序列]]構造，得到的對象是自然同構的。

==例子==
* [[p進數|p進整數]]是 <math>\Z</math> 對 <math>p\Z</math> 的完備化。
* 形式冪級數環 <math>k[[X_1, \ldots, X_n]]</math> 是多項式環 <math>k[X_1, \ldots, X_n]</math> 對 <math>(X_1, \ldots, X_n)</math> 的完備化。

==文獻==

* David Eisenbud, ''Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry''. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6 

{{ModernAlgebra}}

[[Category:交換代數|U]]
[[Category:模論|U]]
[[Category:环论]]