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假设X是一个[[代数簇]]，P∈X是X上的一个[[奇点 (几何)|奇点]]，如果存在一个包含P的开邻域（又称开集）U，使得U中不在包含其他的奇点， 那么就称P是'''孤立奇点'''。

在[[亚纯函数]]中，所有奇点都是孤立的；但如果一个函数的所有奇点都是孤立的，并不能保证它是亚纯函数。[[复分析]]中许多有用的工具，例如[[洛朗展开]]、[[留数定理]]等，都需要保证相关奇点的孤立性才能应用。

孤立奇点分为三种：
* [[可去奇点]]
* [[极点 (复分析)|极点]]
* [[本性奇点]]

==例子==
函数<math>\frac{1}{z}</math>在<math>z=0</math>处有孤立奇点。

余割函数<math>\csc(\pi z)</math>在所有整数点处有孤立奇点。

函数<math>\exp(\frac{1}{z})</math>在<math>z=0</math>处有孤立奇点，这是一个本质奇点。

==复分析中孤立奇点与洛朗展开的关系==
=== 可去奇点、极点、本性奇点的定义 ===
三种孤立奇点有许多等价定义，以下列出部分，用以说明与洛朗级数的关系。

#一个孤立奇点<math>a</math>被称作[[可去奇点]]，如果<math>\lim_{z\rightarrow a} < \infty</math>；
#一个孤立奇点<math>a</math>被称作[[极点 (复分析)|极点]]，如果<math>\lim_{z\rightarrow a} = \infty</math>；
#一个孤立奇点<math>a</math>被称作[[本性奇点]]（又译作'''本质奇点'''），如果极限<math>\lim_{z\rightarrow a}</math>不存在。

===洛朗级数的主要部分===
复函数<math>f(z)</math>在一个以点<math>c</math>为圆心的解析的环形区域<math>D</math>上可以展开成这样的级数形式

:<math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n</math>

其中，<math>a_n</math>具有这样的形式：<math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,</math>。积分路径γ是一条逆时针方向的[[可求长曲线]]，把''c''包围起来，位于[[圆环]]''A''内。

此时，<math>f(z)</math>的洛朗展开式中，指数为负数的部分<math>\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-c)^n</math>称作<math>f(z)</math>的'''主要部分'''(principal part)。

===可去奇点、极点、本性奇点与洛朗级数的主要部分的关系===
以下可以看作可去奇点、极点、本性奇点又一等价定义。
#假设<math>a</math>是复函数<math>f(z)</math>的一个可去奇点，则<math>f(z)</math>在<math>a</math>处邻域内的洛朗级数展开式不含有主要部分。
#假设<math>a</math>是复函数<math>f(z)</math>的一个极点，则<math>f(z)</math>在<math>a</math>处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分仅含有有限项；且主要部分的项数恰等于极点<math>a</math>的阶数。
#假设<math>a</math>是复函数<math>f(z)</math>的一个本性奇点，则<math>f(z)</math>在<math>a</math>处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分含有无穷多项。

===证明===
===相关例子与应用===

==参见==
* [[非孤立奇点]]

==外部链接==
* {{MathWorld | urlname= Singularity | title= Singularity}}

[[Category:代数几何|G]]
[[Category:复分析|G]]