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在[[群論]]中，'''字'''是[[群]]的任何元素和它們的逆元寫成的乘積。例如，如果 ''x'', ''y'' 和 ''z'' 是群 ''G'' 的元素，則 ''xy'', ''z''<sup>-1</sup>''xzz'' 和 ''y''<sup>-1</sup>''zxx''<sup>-1</sup>''yz''<sup>-1</sup> 都是集合 {''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''z''} 形成的字。字在[[自由群]]和[[群的展示|展示]]理論中扮演重要角色，并是[[組合群論]]的中心研究對象。

==定義==
設 ''G'' 是群，并設 ''S'' 是 ''G'' 的[[子集]]。'''''S'' 形成的字'''是如下形式的表達式
:<math>s_1^{\epsilon_1} s_2^{\epsilon_2} \cdots s_n^{\epsilon_n}</math>
這里的 ''s''<sub>1</sub>,...,''s<sub>n</sub>'' 是 ''S'' 的元素并且每個 ''ε<sub>i</sub>'' 都是 ±1。數 ''n'' 叫做字的'''長度'''。

用 ''S'' 形成的每個字表示 ''G'' 的一個元素，也就是這個表達式的乘積。按慣例，單位元可以被表示為'''空字'''，它是長度為零的唯一的字。

==符號==

在書寫字的時候，經常使用[[指數]]符號來簡寫。例如，字
:<math>x x y^{-1} z y z z z x^{-1} x^{-1} \,</math>
可以寫為
:<math>x^2 y^{-1} z y z^3 x^{-2} \,</math>。
后者表達式自身不是個字，它簡單的是最初的字的簡寫符號表示。

在處理長字的時候，使用[[上劃線]]來指示 ''S'' 的元素的逆元是很有幫助的。使用上劃線符號，上述字可以寫為如下:
:<math>x^2\overline{y}zyz^3\overline{x}^2 \,</math>。

==字和展示==
{{main|群的展示}}

群 ''G'' 的子集 ''S'' 叫做[[群的生成集合|生成集]]，如果所有 ''G'' 的元素可以用 ''S'' 形成的字來表示。如果 ''S'' 是生成集，'''關係'''是表示在 ''G'' 中相同的元素的一對 ''S'' 形成的字。它們通常寫為等式:
:<math>x^{-1} y x = y^2\,</math>
關係的集合 <math>\mathcal{R}</math> '''定義 ''G'''''，如果所有 ''G'' 中的關係可以從 <math>\mathcal{R}</math> 的關係使用[[初等群論|群公理]]在邏輯上推出。''G'' 的'''展示'''是有序對 <math>\langle S \mid \mathcal{R}\rangle</math>，這里的 ''S'' 是 ''G'' 的生成集而 <math>\mathcal{R}</math> 是關係的定義集合。

例如，[[克萊因四元群]]可以通過如下展示來定義
:<math>\langle i,j \mid i^2 = 1,\,j^2 = 1,\,ij=ji\rangle</math>
這里的 1 指示表示單位元的空字。

在 ''S'' 不是 ''G'' 的生成集的時候，用 ''S'' 形成的字表示的元素的集合是 ''G'' 的[[子群]]。這叫做 '''''G'' 生成自 ''S'' 的子群'''，并通常指示為 <math>\langle S\rangle</math>。它是包含 ''S'' 的元素的 ''G'' 的最小子群。

==簡約字==
{{see also|自由群}}

其中生成元接著它自己的逆元出現(''xx''<sup>-1</sup> 或 ''x''<sup>-1</sup>''x'')的任何字可以通過省略冗余對來簡化:
:<math>y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow\;\;y^{-1}zy</math>
這個運算叫做'''簡約'''，并且它不改變這個字表示的元素。(簡約可以被認為是從群公理推出的關係。)

'''簡約字'''是不包含冗余對的字。任何字都可以通過進行一序列的簡約而簡化成簡約字:
:<math>xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow\;\;xyz</math>
結果不依賴於進行簡約的次序。

如果 ''S'' 是任何集合， ''S'' 上的[[自由群]]是帶有展示 <math>\langle S\mid\;\rangle</math> 的群。就是說，在 ''S'' 上的自由群是 ''S'' 的元素在沒有額外的關係下生成的群。所有自由群的元素可以唯一的寫為 ''S'' 形成的簡約字。

一個字是'''循環簡約'''的，[[當且僅當]]字的所有[[循環置換]]是簡約的。

==規範形式==

帶有生成集合 ''S'' 的群 ''G'' 的'''[[規範形式 (數學)|規範形式]]'''是對給每個 ''G'' 的元素的 ''S'' 形成的一個簡約字的選擇。例如:
* 字 1, ''i'', ''j'', ''ij'' 是[[克萊因四元群]]的規範形式。
* 字 1, ''r'', ''r''<sup>2</sup>, ..., ''r<sup>n-1</sup>'', ''s'', ''sr'', ''sr<sup>n-1</sup>'' 是[[二面體群]] Dih<sub>''n''</sub> 的規範形式。
* ''S'' 形成的簡約字的集合是 ''S'' 上的自由群的規範形式。
* 形如 ''x<sup>m</sup>y<sup>n</sup>'' 對于 ''m,n''&nbsp;∈&nbsp;'''Z''' 的字的集合是[[循環群]]〈''x''〉和〈''y''〉的[[直積]]的規範形式。

==在字上的運算==

兩個字的'''乘積'''可以通過[[串接]]獲得:
:<math>\left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right) = xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y</math>
是兩個字都是簡約的，乘積也可能不是簡約的。

字的'''逆'''可以通過反轉每個生成元，并對換元素的次序來獲得:
:<math>\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}</math>

字和它的逆元的乘積可以簡約為空字:
:<math>zy^{-1}x^{-1}y \; y^{-1}xyz^{-1} \; \longrightarrow\;\;1</math>

可以通過[[共軛]]把一個生成元從字的開始處移動到結尾處:
:<math>x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x = y^{-1}z^{-1}yzx</math>

==字問題==
{{main|群的字問題}}

給定一個群 ''G'' 的展示 <math>\langle S\mid \mathcal{R} \rangle</math>，'''字問題'''是一個算法問題，給定 ''S'' 中的兩個字作為輸入，確定它們是否表示 ''G'' 的相同元素。字問題是 [[Max Dehn]] 在 1911 年提出的三個算法問題之一。[[Pyotr Sergeyevich Novikov]] 在 1955 年證明了存在有限展現的群 ''G'' 使得 ''G'' 的字問題是[[不可決定性]]的{{harv|Novikov|1955}}。

==引用==
*{{Citation |
last = Epstein | first = David | author-link = David Epstein |
last2 = Cannon | first2 = J. W. | 
last3 = Holt | first3 = D. F. |
last4 = Levy | first4 = S. V. F. |
last5 = Paterson | first5 = M. S. |
last6 = Thurston | first6 = W. P. | author6-link=William Thurston |
title = Word Processing in Groups | publisher = AK Peters | year = 1992 | isbn = 0-867-20244-0}}.
*{{citation|last1=Novikov|first1=P. S.|author1-link=Pyotr Sergeyevich Novikov|title=On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory|journal=Trudy Mat. Inst. Steklov|volume=44|year=1955|pages=1-143|language=ru}}
*{{cite book |author=Robinson, Derek John Scott |title=A course in the theory of groups |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1996|isbn=0-387-94461-3}}
*{{cite book |author=Rotman, Joseph J. |title=An introduction to the theory of groups |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1995|isbn=0-387-94285-8}}
*{{cite book |author=Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. |title=Combinatorial group theory |publisher=Springer |location=Berlin |year=2001 |pages= |isbn=3-540-41158-5}}
*{{citation|last1=Solitar|first1=Donald|last2=Magnus|first2=Wilhelm|author2-link=Wilhelm Magnus|last3=Karrass|first3=Abraham |title=Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations |publisher=Dover|location=New York |year=2004 |isbn=0-486-43830-9}}
*{{cite book |author=Stillwell, John |title=Classical topology and combinatorial group theory |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1993|isbn=0-387-97970-0}}

[[Category:組合群論]]
[[Category:群论]]
[[Category:词语组合]]