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[[File:Venn A subset B.svg|缩略图|A是B的子集，B是A的超集。]]
'''子集'''（{{Lang-en|subset}}）亦稱'''部分集合'''，為某[[集合 (数学)|集合]]中部分元素的集合；關係相反時則稱作'''父集'''、'''母集'''、'''超集'''。子集與父集的关系被称为“包含”。

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（∀a∈A，则a∈B），则集合A称为集合B的子集，记为<math>A \subseteq B</math>或<math>B \supseteq A</math>，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。

即：<math>\forall a \in A</math>，有<math>a \in B</math>，则<math>A \subseteq B</math>。

若<math>A</math>和<math>B</math>为[[集合 (数学)|集合]]，且''<math>A</math>''的所有[[元素]]都是<math>B</math>的元素，则可表示為：
* <math>A</math>是<math>B</math>的'''子集'''（或称<math>A</math>'''包含于''' <math>B</math>）；<math>A\subseteq B</math>
* <math>B</math>是<math>A</math>的'''父集'''／'''超集'''（或称<math>B</math>'''包含''' <math>A</math>）；<math>B\supseteq A</math>

任何集合<math>B</math>皆是本身的子集（<math>B\subseteq B</math>）。而''<math>B</math>''的子集中不[[等于]]''<math>B</math>''的集合，称为'''真子集'''，若''<math>A</math>''是''<math>B</math>''的真子集，写作<math>A\subsetneqq B</math>。

== 定义 ==

假设有''<math>A</math>''和''<math>B</math>''两个集合，如果''<math>A</math>''中的每个[[元素 (數學)|元素]]都在''<math>B</math>''中，则：

:*''<math>A</math>''是''<math>B</math>''的'''子集'''，记作<math>A \subseteq B</math>
:也可以说
:*<math>B</math>是''<math>A</math>''的'''超集'''，记作<math>B \supseteq A</math>

如果''<math>A</math>''是<math>B</math>的子集，但<math>A</math>不[[等于]]<math>B</math>（即<math>B</math>中至少[[存在量化|存在]]一个元素不在<math>A</math>集合中），则：

:*<math>A</math>是<math>B</math>的'''真子集'''，记作<math>A \subsetneqq B</math>
:也可以说
:*<math>B</math>是''<math>A</math>''的'''真超集'''，记作<math>B \supsetneqq A</math>

== 符号 ==
{{Copy edit|date=2022-11-21}}
[[ISO 80000-2]]标准中定义了两种符号搭配：<ref>{{Cite web|date=2019-08|title=ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics|script-title=en:ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics|url=https://www.iso.org/standard/64973.html|url-status=no|access-date=2023-7-24|website=[[ISO]]|language=en|archive-date=2023-03-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20230313134304/https://www.iso.org/standard/64973.html}}</ref>

* <math>\subseteq</math>表示子集关系，<math>\subset</math>表示真子集关系。使用的作品<ref>{{Citation| title=離散數學-第三章| url=http://www.cis.nctu.edu.tw/~is83039/discret/chap3.html| accessdate=2012-09-07| deadurl=yes| archiveurl=https://web.archive.org/web/20120703074947/http://www.cis.nctu.edu.tw/~is83039/discret/chap3.html| archivedate=2012-07-03}}</ref><ref>{{Citation | title=剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 | url=http://www.cie.org.uk/images/128402-2015-syllabus.pdf | accessdate=2015-03-14 | archive-date=2016-03-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160304190830/http://www.cie.org.uk/images/128402-2015-syllabus.pdf | dead-url=no }}</ref><ref>{{Citation | title=Subsets and Proper Subsets | url=http://it.edgecombe.edu/homepage/killorant/MAT140/Module1/Subsets.pdf | accessdate=2012-09-07 | archive-url=https://web.archive.org/web/20130123202559/http://it.edgecombe.edu/homepage/killorant/MAT140/Module1/Subsets.pdf | archive-date=2013-01-23 | dead-url=yes }}</ref>
* <math>\subset</math>表示子集关系，<math>\subsetneqq</math>表示真子集关系。使用的作品<ref name="Rudin">{{Citation | last1=Rudin | first1=Walter | author1-link=Walter Rudin | title=Real and complex analysis | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | edition=3rd | isbn=978-0-07-054234-1 | mr=924157  | year=1987}}</ref>{{rp|p.6}}

== 举例 ==

* 集合<math>\left \{ 1,2 \right \}</math>是集合<math>\left \{ 1,2,3 \right \}</math>的真子集。
* [[自然数]]集合是[[有理数]]集合的真子集。
* 集合<math>\{x:x</math>是大于2000的[[素数]]<math>\}</math>是集合<math>\{x:x</math>是大于1000的[[奇数]]<math>\}</math>的真子集。
* 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
* [[空集]]，写作<math>\varnothing</math>，是任意集合<math>X</math>的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

== 性质 ==
[[File:Subset-2.png|thumb|A是B的子集。]]
'''命题1'''：[[空集]]是任意集合的子集。

这个命题说明：'''包含'''是一种[[偏序关系]]。

'''命题2'''：若<math>A,B,C</math>是集合，则：

:[[自反关系|自反性]]：
::*<math>A\subseteq A</math>

:[[反对称关系|反对称性]]：
::*<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq A</math>[[当且仅当]]<math>A=B</math>

:[[传递关系|传递性]]：
::*若<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq C</math>则<math>A\subseteq C</math>

这个命题说明：对任意集合<math>S</math>，''<math>S</math>''的[[幂集]]按包含排序是一个[[有界格]]，与上述命题相结合，则它是一个[[布尔代数]]。

'''命题3'''：若<math>A,B,C</math>是集合''<math>S</math>''的子集，则：

:存在一个[[最小元]]和一个[[最大元]]：
::*<math>\varnothing\subseteq A\subseteq S</math>（<math>\varnothing\subseteq A</math>由命題1給出）

:存在[[并运算]]：
::*<math>A\subseteq A\cup B</math>
::*
::*若<math>A\subseteq C</math>且<math>B\subseteq C</math>则<math>A\cup B\subseteq C</math>

:存在[[交运算]]：
::*<math>A\cap B\subseteq A</math>
::*若<math>C\subseteq A</math>且<math>C\subseteq B</math>则<math>C\subseteq A\cap B</math>

'''命题4'''：对任意两个集合<math>A</math>和<math>B</math>，下列表述等价：

:*<math>A\subseteq B</math>
:*<math>A\cap B=A</math>
:*<math>A\cup B=B</math>
:*<math>A-B=\varnothing</math>
:*<math>B'\subseteq A'</math>

这个命题说明：表述"<math>A\subseteq B</math>"，和其他使用[[并集]]，[[交集]]和[[补集]]的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

==参见==
* [[冪集]]：某集合的全部子集组成的集合。

[[Category:集合論基本概念|Z]]
{{集合论}}
[[ro:Mul?ime#Submul?imi]]