查看“︁子群”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{Groups}}

假設 <math>(G, *)</math> 是一個 '''[[群]]'''（group），若 <math>H</math> 是 <math>G</math> 的一個非空[[子集]]（subset）且同時 <math>H</math> 與相同的[[二元運算]] <math>*</math> 亦構成一個群，則 <math>(H, *)</math> 稱為 <math>(G, *)</math> 的一個 '''子群'''（subgroup）。參閱[[群論]]。

更精確地來說，若運算 <math>*</math> 在 <math>H</math> 的[[函數#限制及擴張|限制]]也是個在 <math>H</math> 上的群運算，则称  <math>H</math> 為 <math>G</math>的'''子群'''。

一個群 <math>G</math> 的 '''純子群''' 是指一個子群 <math>H</math>，其為 <math>G</math>的[[子集|純子集]]（即 <math>H</math> ≠ <math>G</math>）。任一個群總會有兩個子群 '''當然群'''（為只包含單位元素的子群，{''e''}）以及 ''群本身''。若 <math>H</math> 為 <math>G</math>的子群，則 <math>G</math> 有時會被稱為 <math>H</math> 的「母群」。

相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當 ''G'' 為一任意的[[半群]]，但此一條目中只處理群的子群而已。群''G'' 有時會被標記成有序對(''G'',*)，通常用以強調其運算 <math>*</math> 當 ''G'' 帶有多重的代數或其他結構。

在下面的文章中，會使用省略掉 <math>*</math> 的約定，並將乘積''a''*''b''寫成 ''ab''。

== 子群的檢驗 ==
給定一個群<math>(G,*)</math>，<math>H</math>為<math>G</math>的子集，則有<math>H</math>為<math>G</math>的子群若且唯若<math>\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H</math>。

若<math>H</math>為<math>G</math>的子群可表示為<math>H\leq G</math>，則以上表述可表示為:

<u><math>H\leq G\Longleftrightarrow\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H</math></u>

證明：

<math>(\Longrightarrow)</math>：

因為<math>H\leq G</math>，對於任意<math>h'\in H</math>，<math>\exists h'^{-1}\in H</math>，另有<math>h\in H</math>，由於<math>H</math>為一個群，所以<math>h*h'^{-1}\in H</math>。

<math>(\Longleftarrow)</math>：

假設<math>\exists x\in H</math>，令<math>h=h'=x</math>，可得<math>h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_G\in H</math>，即<math>H</math>存在單位元。

對於<math>x\in H</math>，令<math>h=e_G</math>，<math>h'=x</math>，可得<math>h*h^{-1}=e_G*x^{-1}=x^{-1}\in H</math>，即對於任意<math>x\in H</math>，存在<math>x^{-1}\in H</math>。

對於<math>x,y\in H</math>，令<math>h=x</math>，<math>h'=y^{-1}</math>，可得<math>h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H</math>，即對於任意<math>x,y\in H</math>，<math>x*y\in H</math>。

因此<math>H\leq G\Longleftrightarrow\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H</math>成立。

== 子群的基本性質 ==

* <math>H \leq G</math> <math>\Longleftrightarrow</math><math>H \subseteq G</math>且存在一個映射<math>\phi : H \to G</math>,且對每個 <math>a \in H</math> 有<math>\phi(a)=a</math>。
* <math>H \leq G</math> <math>\Longleftrightarrow</math><math>e_{H} = e_{G}</math>,其中<math>e_{H},e_{G}</math>為<math>H,G</math> 的單位元素。
* 若<math>H \leq G</math>，則<math>a,b</math>為會使得<math>ab=ba=e_{H}</math> 之 <math>H</math> 中的元素，有<math>ab = ba = e_{G}</math>。
* 若<math>H_{1} \leq G,H_{2} \leq G \Rightarrow H_{1} \cap H_{2} \leq G</math> .但<math>H_{1}\cup H_{2} </math>則不一定，例如2和3是在<math>2\Z</math>與<math>3\Z</math>的聯集中，但其總和5則不是。
* 若''S''是''G''的子集，則存在一個包括''S''的最小子群，其可以由取得所有包括''S''的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<''S''>且稱為[[群的產生集|由''S''產生的子群]]。''G''內的一個元素在<''S''>內若且唯若其為''S''內之元素的有限乘積且其逆元。
* 群''G''內的每一個元素''a''都會產生一個循環子群<''a''>。若<''a''>[[群同構|同構]]於某一正整數''n''之'''Z'''/''n'''''Z'''，則''n''會是最小個會使得''a''<sup>''n''</sup> = ''e''的正整數，且''n''被稱為是''a''的「階」。若<''a''>同構於'''Z'''，則''a''會被稱有「無限階」。
* 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的[[完全格]]，稱之為[[子群格]]。(其[[最大下界]]為一般的集合論交集，而其一群子群的[[最小上界]]所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若''e''為''G''的單位元素，則其當然群{''e''}會是群''G''的[[偏序關係|最小]]子群，而其[[偏序關係|最大]]子群則會是群''G''本身。

== 例子 ==
=== 1. 有限群 ===
<math>G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}</math> 和[[同餘|以8為模的加法]]為二元運算的群(此群亦同時是[[阿貝爾群]])。
其[[凱萊表]]為
:{| class="wikitable"
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|}

此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對[[非當然子群]]：<math>J=\{0,4\}</math> 和 <math>H=\{0,2,4,6\}</math>，其中 <math>J</math> 亦是 <math>H</math> 的子群。<math>H</math> 的凱萊表是 <math>G</math> 的凱萊表之左上半部。 <math>G</math> 群是[[循環群|循環]]的，而其子群亦為。一般而言，循環群的子群亦為循環的。

=== 2. 二面體群 ===
如果<math>G = D_n</math>，則 <math>R =\{ e, r, r^2, ... , r^{n-1} \}</math>是一個子群

=== 3.群的中心，中心化子，正規化子 ===
我們設<math>Z(G)</math>一個群G的子集，包含了所有與群G中其他元素可交換的元素，也就是說

<math>Z(G)=\{x \in G |\; xg=gx \;\,\; \forall\, g\in G \}</math>，此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的[[中心 (群论)|中心]]，記作<math>Z(G)</math>。

設A為G的任意子集，則A在G中的[[中心化子和正规化子|中心化子]]為集合<math>C_{G}(A)</math>，此集合的定義為:

<math>C_{G}(A) =\{g\in G \; |\;gag^{-1}=a \;\; \forall a\in A \}</math>，此集合也是群G的子群。

至於A在G中的[[中心化子和正规化子|正規化子]]則為集合<math>N_{G}(A) </math>，此集合定義為:

<math>N_{G}(A) =\{g\in G \; |\;gAg^{-1}\subseteq A \}</math>，此集合也是群G的子群。

== 陪集和拉格朗日定理 ==

給定一子群''H''和''G''內的某一元素''a''，則可定義出一個'''左[[陪集]]''' ''aH''={''ah'';''h''∈''H''}。因為''a''為可逆的，由φ(''h'') = ''ah''給出之映射φ : ''H'' → ''aH''為一個[[雙射]]。更甚地，每一個''G''內的元素都包含在恰好一個''H''的左陪集中；其左陪集為對應於一[[等價關係]]的等價類，其等價關係''a''<sub>1</sub> ~ ''a''<sub>2</sub>[[若且唯若]]''a''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''a''<sub>2</sub>會在''H''內。''H''的左陪集之數目稱之為''H''在''G''內的「指數」，並標記為[''G'':''H'']。

[[拉格朗日定理 (群論)|拉格朗日定理]]敘述著對一個有限群''G''和一個子群''H''而言，
:<math> [ G : H ] = { o(G) \over o(H) } </math>
其中o(''G'')和o(''H'')分別為''G''和''H''的[[階 (群論)|階]]。特別地是，每一個''G''的子群的階(和每一個''G''內元素的階)都必須為o(''G'')的[[因數]]。
'''右陪集'''為相類比之定義：''Ha'' = {''ha'' : ''h''∈''H''}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類，且其個數亦會相等於[''G'':''H'']。

若對於每個在''G''內的''a''，''aH''=''Ha''，則''H''稱之為[[正規子群]]。每一個指數2的子群皆為正規的：左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。

== 另見 ==
* [[嘉當子群]]
* [[費汀子群]]
* [[穩定子群]]

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群論|Z]]
[[Category:子群性質|Z]]