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[[File:immersedsubmanifold_selfintersection.jpg|thumb|160px|自交的浸入子流形]]
[[数学]]上，[[流形]]''M''的'''子流形'''是[[子集]]''S''，且本身也有流形的结构，并且[[内含映射]]''S'' → ''M''满足特定属性。根据具体所需的属性，有各种不同类型的子流形。不同作者经常采用不同的定义。

==形式化定义==

下面假设所有流形为''C''<sup>''r''</sup>[[微分类|类]][[微分流形]]，''r'' ≥ 1，并且所有映射为''C''<sup>''r''</sup>类可微。

===浸入子流形===
[[File:immersedsubmanifold_nonselfintersection.jpg|thumb|150px|浸入子流形，开区间的区间终点映射为箭头。]]

流形''M''的'''浸入子流形'''是流形''N''，带有给定[[浸入]]''f'' : ''N'' → ''M''（''f'' : ''N'' → ''f''(''N'')是一个[[光滑映射]]，且其[[雅可比矩阵]]处处[[满秩]]）。因此，''N''在''M''中的像和''N''存在局域[[同胚]]。如果进一步要求''N''的度量和从''M''拉回的度量相同，则称等度浸入子流形。

===嵌入子流形===
'''嵌入子流形'''（也称'''正则子流形'''）是浸入子流形，其浸入映射为同胚。子流形拓扑和它的像（流形''M''的子集''S''）的子集拓扑相同。

嵌入子流形也可以内蕴定义：令''M''为''n''-维流形，令''k''为整数，满足0 ≤ ''k'' ≤ ''n''。''k''-维嵌入子流形是子空间''S'' ⊂ ''M''使得，对每个点''p'' ∈ ''S''，存在[[图 (拓扑)|图]](''U'' ⊂ ''M'', φ : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup>)包含''p''满足φ(''S'' ∩ ''U'')是一个''k''-维[[平面 (数学)|平面]]和φ(''U'')的交。二元组(''S'' ∩ ''U'', φ|<sub>''S'' ∩ ''U''</sub>)构成''S''上微分结构的[[图册 (拓扑)|图册]]。

子流形在[[李群]]理论中出现频繁，因为很多[[李群]]可以视为非退缩矩阵乘法群的子流形兼子群。

===其他变种===
文献中有其他子流形的变种定义。
<!-- this particular definition seems to be the same as above
Sharpe (1997)定义了一类子流形，它们可以看作是介于嵌入子流形和浸入子流形之间的分类。
====Sharpe对子流形的定义====
*<math>n</math>维<math>C^r</math>流形<math>\mathcal{N}</math>的子集<math>L</math>为<math>l</math>维<math>C^r</math>子流形，如果满足，

#当<math>l=n</math>时：<math>L</math>为<math>\mathcal{N}</math>的开集。
#当<math>0\leq l <n</math>时：对于<math>L</math>的任意一点<math>p</math>，存在包含<math>p</math>的<math>\mathcal{N}</math>中的[[坐标邻域]]<math>(U;x_1,x_2,\cdots,x_n)</math>，并且以下条件成立

::<math>L\cap U=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U| x_{l+1}=\cdots=x_{n}=0\}</math>。
-->

==属性==

给定''M''的浸入子流形''S''，其''p''点的[[切空间]]可以视为''p''在''M''中的[[线性子空间]]。这是因为浸入给出了一个单射
:<math>i_{\ast}: T_p S \to T_p M</math>。

假设''S''是''M''的嵌入子流形。若内含映射''i'' : ''S'' → ''M''是[[闭映射]]则''S''也称'''闭嵌入子流形'''。这是具有良好属性的一类子流形。

==欧几里得空间子流形==

流形经常被''定义''为[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''n''</sup>的子流形，所以这是一个非常重要的特例。根据[[惠特尼嵌入定理]]所有[[第二可数空间|第二可数]]的光滑''n''-流形可以光滑地嵌入到'''R'''<sup>2''n''</sup>中。而且根据[[纳什嵌入定理]]，所有紧致[[闭流形]]可以等距嵌入欧几里得空间。

==参考==

*{{cite book | first = John | last = Lee | year = 2003 | title = Introduction to Smooth Manifolds | url = https://archive.org/details/introductiontosm0000leej | series = Graduate Texts in Mathematics '''218''' | location = New York | publisher = Springer | id = ISBN 978-0-387-95495-0}}
*{{cite book | last = Sharpe | first = R. W. | title = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program | publisher = Springer | location = New York | year=1997 | id=ISBN 978-0-387-94732-7}}

[[Category:微分几何|Z]]
[[Category:流形]]