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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''[[婆羅摩笈多|婆罗摩笈多]]-[[斐波那契]]恒等式''' 是以下的恒等式：

:<math>\begin{align}
\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 \  \qquad\qquad(1) \\
& {} = \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2.\qquad\qquad(2)
\end{align}</math>

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如，

:<math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 30^2 + 1^2 = 26^2 + 15^2.\,</math>

(1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。(2)可以通过把(1)中的<math>b</math>换成<math>-b</math>来得出。

这个等式在[[整数|整数环]]和[[有理数|有理数环]]中都成立。更一般地，在任何的[[交换环]]中都成立。 

它在[[数论]]中有很多应用，例如[[费马平方和定理]]说明任何被4除余1的素数都能表示为两个平方数的和，则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式，任何两个被4除余1的素数的积也都能表示为两个平方数的和。

==證明==
:<math>\begin{align}
\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\\
&=\left(a^2c^2+b^2d^2{\color{red}-2abcd}\right)+\left(a^2d^2+b^2c^2{\color{red}+2abcd}\right)\\
&=\left(ac-bd\right)^2+\left(ad+bc\right)^2
\end{align}</math>
而若將<math>{\color{red}-2abcd}</math>與<math>{\color{red}+2abcd}</math>互換位置，即可得
:<math>\left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2</math>

==相关等式==

[[四平方和恒等式]]是一个类似的等式，含有四个平方和，与[[四元数]]有关。还有一个{{link-en|八平方和恒等式|Degen's eight-square identity}}。

==与复数的关系==

如果<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>和<math>d</math>是[[实数]]，那么这个等式与[[複數 (數學)|複數]]的绝对值的乘法性质是等价的，也就是说： 

:<math>  | a+bi |  | c+di | = | (a+bi)(c+di) | \,</math> 

由于

:<math>  | a+bi |  | c+di | = | (ac-bd)+i(ad+bc) |,\,</math> 

两边平方，得

:<math>  | a+bi |^2  | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2,\,</math>

根据绝对值的定义，

:<math>  (a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \,</math>

==用范数来解释==

在<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>和<math>d</math>是[[有理数]]的情况中，这个等式可以解释为[[域 (数学)|域]]<math>Q(i)</math>的[[范数 (域论)|范数]]是积性的。也就是说：

: <math>N(a+bi) = a^2 + b^2 \,</math>且<math>N(c+di) = c^2 + d^2, \,</math>

而且

: <math>N[(a+bi)(c+di)] = N[(ac-bd)+i(ad+bc)] = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2. \,</math>

所以，这个等式就是说

: <math>N[(a+bi)(c+di)] = N(a+bi) \cdot N(c+di). \,</math>

==参见==
* [[婆罗摩笈多矩阵]]
* [[复数 (数学)|复数]]
* [[四平方和恒等式]]

==外部链接==
*[https://web.archive.org/web/20121129133237/http://planetmath.org/encyclopedia/BrahmaguptasIdentity.html PlanetMath]
*[http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptaIdentity.html MathWorld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptaIdentity.html |date=20191223043211 }}

[[Category:代数]]
[[Category:婆罗摩笈多]]
[[Category:初等代数]]
[[Category:数学恒等式]]
[[Category:数论中的平方]]